MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Unicode version

Theorem subge0d 9616
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
subge0d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 subge0 9541 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121    - cmin 9291
This theorem is referenced by:  ofsubge0  9999  modsubdir  11285  serle  11378  discr  11516  bcval5  11609  fzomaxdiflem  12146  sqreulem  12163  amgm2  12173  climle  12433  rlimle  12441  iseralt  12478  fsumle  12578  cvgcmp  12595  smuval2  12994  pcz  13254  4sqlem15  13327  mndodconglem  15179  ipcau2  19191  pjthlem1  19338  ovolicc2lem4  19416  vitalilem2  19501  itg1lea  19604  dvlip  19877  dvge0  19890  dvle  19891  dvivthlem1  19892  dvfsumlem2  19911  dvfsumlem4  19913  loglesqr  20642  emcllem6  20839  harmoniclbnd  20847  basellem9  20871  lgseisenlem1  21133  vmadivsum  21176  rplogsumlem1  21178  dchrisumlem2  21184  rplogsum  21221  vmalogdivsum2  21232  selberg2lem  21244  logdivbnd  21250  pntpbnd2  21281  pntibndlem2  21285  pntlemg  21292  pntlemn  21294  pjhthlem1  22893  leop2  23627  pjssposi  23675  binomrisefac  25358  brbtwn2  25844  axpaschlem  25879  axcontlem8  25910  areacirclem2  26293  areacirclem4  26295  areacirclem5  26296  areacirc  26297  acongrep  27045  stoweidlem1  27726  stoweidlem26  27751  stoweidlem62  27787  wallispilem4  27793  swrdtrcfvl  28265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator