MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Unicode version

Theorem subge0d 9378
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
subge0d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 subge0 9303 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  ofsubge0  9761  modsubdir  11024  serle  11117  discr  11254  bcval5  11346  fzomaxdiflem  11842  sqreulem  11859  amgm2  11869  climle  12129  rlimle  12137  iseralt  12173  fsumle  12273  cvgcmp  12290  smuval2  12689  pcz  12949  4sqlem15  13022  mndodconglem  14872  ipcau2  18680  pjthlem1  18817  ovolicc2lem4  18895  vitalilem2  18980  itg1lea  19083  dvlip  19356  dvge0  19369  dvle  19370  dvivthlem1  19371  dvfsumlem2  19390  dvfsumlem4  19392  loglesqr  20114  emcllem6  20310  harmoniclbnd  20318  basellem9  20342  lgseisenlem1  20604  vmadivsum  20647  rplogsumlem1  20649  dchrisumlem2  20655  rplogsum  20692  vmalogdivsum2  20703  selberg2lem  20715  logdivbnd  20721  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntlemg  20763  pntlemn  20765  pjhthlem1  21986  leop2  22720  pjssposi  22768  brbtwn2  24605  axpaschlem  24640  axcontlem8  24671  areacirclem4  25030  areacirclem5  25032  areacirclem6  25033  areacirc  25034  acongrep  27170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator