Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgga Structured version   Unicode version

Theorem subgga 15077
 Description: A subgroup acts on its parent group. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgga.1
subgga.2
subgga.3 s
subgga.4
Assertion
Ref Expression
subgga SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem subgga
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgga.3 . . . 4 s
21subggrp 14947 . . 3 SubGrp
3 subgga.1 . . . 4
4 fvex 5742 . . . 4
53, 4eqeltri 2506 . . 3
62, 5jctir 525 . 2 SubGrp
7 subgrcl 14949 . . . . . . . 8 SubGrp
87adantr 452 . . . . . . 7 SubGrp
93subgss 14945 . . . . . . . . 9 SubGrp
109sselda 3348 . . . . . . . 8 SubGrp
1110adantrr 698 . . . . . . 7 SubGrp
12 simprr 734 . . . . . . 7 SubGrp
13 subgga.2 . . . . . . . 8
143, 13grpcl 14818 . . . . . . 7
158, 11, 12, 14syl3anc 1184 . . . . . 6 SubGrp
1615ralrimivva 2798 . . . . 5 SubGrp
17 subgga.4 . . . . . 6
1817fmpt2 6418 . . . . 5
1916, 18sylib 189 . . . 4 SubGrp
201subgbas 14948 . . . . . 6 SubGrp
2120xpeq1d 4901 . . . . 5 SubGrp
2221feq2d 5581 . . . 4 SubGrp
2319, 22mpbid 202 . . 3 SubGrp
24 eqid 2436 . . . . . . . 8
2524subg0cl 14952 . . . . . . 7 SubGrp
26 oveq12 6090 . . . . . . . 8
27 ovex 6106 . . . . . . . 8
2826, 17, 27ovmpt2a 6204 . . . . . . 7
2925, 28sylan 458 . . . . . 6 SubGrp
301, 24subg0 14950 . . . . . . . 8 SubGrp
3130oveq1d 6096 . . . . . . 7 SubGrp
3231adantr 452 . . . . . 6 SubGrp
333, 13, 24grplid 14835 . . . . . . 7
347, 33sylan 458 . . . . . 6 SubGrp
3529, 32, 343eqtr3d 2476 . . . . 5 SubGrp
367ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 SubGrp
379ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
38 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3937, 38sseldd 3349 . . . . . . . . . 10 SubGrp
40 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
4137, 40sseldd 3349 . . . . . . . . . 10 SubGrp
42 simplr 732 . . . . . . . . . 10 SubGrp
433, 13grpass 14819 . . . . . . . . . 10
4436, 39, 41, 42, 43syl13anc 1186 . . . . . . . . 9 SubGrp
453, 13grpcl 14818 . . . . . . . . . . 11
4636, 41, 42, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 SubGrp
47 oveq12 6090 . . . . . . . . . . 11
48 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11
4947, 17, 48ovmpt2a 6204 . . . . . . . . . 10
5038, 46, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9 SubGrp
5144, 50eqtr4d 2471 . . . . . . . 8 SubGrp
5213subgcl 14954 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
53523expb 1154 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5453adantlr 696 . . . . . . . . 9 SubGrp
55 oveq12 6090 . . . . . . . . . 10
56 ovex 6106 . . . . . . . . . 10
5755, 17, 56ovmpt2a 6204 . . . . . . . . 9
5854, 42, 57syl2anc 643 . . . . . . . 8 SubGrp
59 oveq12 6090 . . . . . . . . . . 11
60 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11
6159, 17, 60ovmpt2a 6204 . . . . . . . . . 10
6240, 42, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9 SubGrp
6362oveq2d 6097 . . . . . . . 8 SubGrp
6451, 58, 633eqtr4d 2478 . . . . . . 7 SubGrp
6564ralrimivva 2798 . . . . . 6 SubGrp
661, 13ressplusg 13571 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
6766oveqd 6098 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
6867oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10 SubGrp
6968eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9 SubGrp
7020, 69raleqbidv 2916 . . . . . . . 8 SubGrp
7120, 70raleqbidv 2916 . . . . . . 7 SubGrp
7271biimpa 471 . . . . . 6 SubGrp
7365, 72syldan 457 . . . . 5 SubGrp
7435, 73jca 519 . . . 4 SubGrp
7574ralrimiva 2789 . . 3 SubGrp
7623, 75jca 519 . 2 SubGrp
77 eqid 2436 . . 3
78 eqid 2436 . . 3
79 eqid 2436 . . 3
8077, 78, 79isga 15068 . 2
816, 76, 80sylanbrc 646 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320   cxp 4876  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938   cga 15066 This theorem is referenced by:  gaid2  15080 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-subg 14941  df-ga 15067
 Copyright terms: Public domain W3C validator