MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggim Unicode version

Theorem subggim 15016
Description: Behavior of subgroups under isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subggim  |-  ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  <->  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S ) ) )

Proof of Theorem subggim
StepHypRef Expression
1 gimghm 15014 . . . 4  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
3 ghmima 14989 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  A  e.  (SubGrp `  R )
)  ->  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S ) )
42, 3sylan 458 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  /\  A  e.  (SubGrp `  R
) )  ->  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S )
)
5 subgim.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6gimf1o 15013 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  ->  F : B
-1-1-onto-> ( Base `  S )
)
8 f1of1 5640 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> ( Base `  S
)  ->  F : B -1-1-> ( Base `  S
) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  ->  F : B -1-1-> ( Base `  S
) )
10 f1imacnv 5658 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-> (
Base `  S )  /\  A  C_  B )  ->  ( `' F " ( F " A
) )  =  A )
119, 10sylan 458 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  ->  ( `' F " ( F
" A ) )  =  A )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  /\  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S
) )  ->  ( `' F " ( F
" A ) )  =  A )
13 ghmpreima 14990 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S )
)  ->  ( `' F " ( F " A ) )  e.  (SubGrp `  R )
)
142, 13sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  /\  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S
) )  ->  ( `' F " ( F
" A ) )  e.  (SubGrp `  R
) )
1512, 14eqeltrrd 2487 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  /\  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S
) )  ->  A  e.  (SubGrp `  R )
)
164, 15impbida 806 1  |-  ( ( F  e.  ( R GrpIso  S )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  <->  ( F " A )  e.  (SubGrp `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   `'ccnv 4844   "cima 4848   -1-1->wf1 5418   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432  SubGrpcsubg 14901    GrpHom cghm 14966   GrpIso cgim 15007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-gim 15009
  Copyright terms: Public domain W3C validator