MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Unicode version

Theorem subggrp 14717
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 14714 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 972 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2442 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   ↾s cress 13240   Grpcgrp 14455  SubGrpcsubg 14708
This theorem is referenced by:  subg0  14720  subginv  14721  subg0cl  14722  subginvcl  14723  subgcl  14724  issubg2  14729  subsubg  14733  resghm  14792  resghm2b  14794  subgga  14847  gasubg  14849  odsubdvds  14975  pgp0  15000  subgpgp  15001  sylow2blem2  15025  slwhash  15028  fislw  15029  subglsm  15075  pj1ghm  15105  subgabl  15225  cycsubgcyg  15280  subgdmdprd  15362  subgdprd  15363  ablfacrplem  15393  pgpfaclem1  15409  pgpfaclem3  15411  ablfaclem3  15415  issubrg2  15658  islss3  15809  issubgrpd  16035  mplgrp  16287  zcyg  16545  expghm  16550  frgpcyg  16627  subgtgp  17884  subgngp  18247  reefgim  19927  cnmsgngrp  26759  psgnghm  26760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fv 5342  df-ov 5945  df-subg 14711
  Copyright terms: Public domain W3C validator