MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Unicode version

Theorem subggrp 14910
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 14907 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 974 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2496 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   ↾s cress 13433   Grpcgrp 14648  SubGrpcsubg 14901
This theorem is referenced by:  subg0  14913  subginv  14914  subg0cl  14915  subginvcl  14916  subgcl  14917  issubg2  14922  subsubg  14926  resghm  14985  resghm2b  14987  subgga  15040  gasubg  15042  odsubdvds  15168  pgp0  15193  subgpgp  15194  sylow2blem2  15218  slwhash  15221  fislw  15222  subglsm  15268  pj1ghm  15298  subgabl  15418  cycsubgcyg  15473  subgdmdprd  15555  subgdprd  15556  ablfacrplem  15586  pgpfaclem1  15602  pgpfaclem3  15604  ablfaclem3  15608  issubrg2  15851  islss3  15998  issubgrpd  16224  mplgrp  16476  zcyg  16735  expghm  16740  frgpcyg  16817  subgtgp  18096  subgngp  18637  reefgim  20327  cnmsgngrp  27312  psgnghm  27313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-subg 14904
  Copyright terms: Public domain W3C validator