MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Unicode version

Theorem subggrp 14624
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 14621 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 972 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2367 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  subg0  14627  subginv  14628  subg0cl  14629  subginvcl  14630  subgcl  14631  issubg2  14636  subsubg  14640  resghm  14699  resghm2b  14701  subgga  14754  gasubg  14756  odsubdvds  14882  pgp0  14907  subgpgp  14908  sylow2blem2  14932  slwhash  14935  fislw  14936  subglsm  14982  pj1ghm  15012  subgabl  15132  cycsubgcyg  15187  subgdmdprd  15269  subgdprd  15270  ablfacrplem  15300  pgpfaclem1  15316  pgpfaclem3  15318  ablfaclem3  15322  issubrg2  15565  islss3  15716  issubgrpd  15942  mplgrp  16194  zcyg  16445  expghm  16450  frgpcyg  16527  subgtgp  17788  subgngp  18151  reefgim  19826  cnmsgngrp  27436  psgnghm  27437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subg 14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator