MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Unicode version

Theorem subggrp 14952
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 14949 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 975 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2522 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   Grpcgrp 14690  SubGrpcsubg 14943
This theorem is referenced by:  subg0  14955  subginv  14956  subg0cl  14957  subginvcl  14958  subgcl  14959  issubg2  14964  subsubg  14968  resghm  15027  resghm2b  15029  subgga  15082  gasubg  15084  odsubdvds  15210  pgp0  15235  subgpgp  15236  sylow2blem2  15260  slwhash  15263  fislw  15264  subglsm  15310  pj1ghm  15340  subgabl  15460  cycsubgcyg  15515  subgdmdprd  15597  subgdprd  15598  ablfacrplem  15628  pgpfaclem1  15644  pgpfaclem3  15646  ablfaclem3  15650  issubrg2  15893  islss3  16040  issubgrpd  16266  mplgrp  16518  zcyg  16777  expghm  16782  frgpcyg  16859  subgtgp  18140  subgngp  18681  reefgim  20371  cnmsgngrp  27427  psgnghm  27428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-subg 14946
  Copyright terms: Public domain W3C validator