Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgntr Structured version   Unicode version

Theorem subgntr 18138
 Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 18140, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
subgntr SubGrp

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4893 . . . . . 6
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12
3 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
42, 3tgptopon 18114 . . . . . . . . . . 11 TopOn
543ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10 SubGrp TopOn
65adantr 453 . . . . . . . . 9 SubGrp TopOn
7 topontop 16993 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
98adantr 453 . . . . . . . . . 10 SubGrp
10 simpl2 962 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
113subgss 14947 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
13 toponuni 16994 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
146, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
1512, 14sseqtrd 3386 . . . . . . . . . 10 SubGrp
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
1716ntropn 17115 . . . . . . . . . 10
189, 15, 17syl2anc 644 . . . . . . . . 9 SubGrp
19 toponss 16996 . . . . . . . . 9 TopOn
206, 18, 19syl2anc 644 . . . . . . . 8 SubGrp
21 resmpt 5193 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
2322rneqd 5099 . . . . . 6 SubGrp
241, 23syl5eq 2482 . . . . 5 SubGrp
25 simpl1 961 . . . . . . 7 SubGrp
26 simpr 449 . . . . . . . . 9 SubGrp
2716ntrss2 17123 . . . . . . . . . . 11
289, 15, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 SubGrp
29 simpl3 963 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3028, 29sseldd 3351 . . . . . . . . 9 SubGrp
31 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
3231subgsubcl 14957 . . . . . . . . 9 SubGrp
3310, 26, 30, 32syl3anc 1185 . . . . . . . 8 SubGrp
3412, 33sseldd 3351 . . . . . . 7 SubGrp
35 eqid 2438 . . . . . . . 8
36 eqid 2438 . . . . . . . 8
3735, 3, 36, 2tgplacthmeo 18135 . . . . . . 7
3825, 34, 37syl2anc 644 . . . . . 6 SubGrp
39 hmeoima 17799 . . . . . 6
4038, 18, 39syl2anc 644 . . . . 5 SubGrp
4124, 40eqeltrrd 2513 . . . 4 SubGrp
42 tgpgrp 18110 . . . . . . 7
4325, 42syl 16 . . . . . 6 SubGrp
44113ad2ant2 980 . . . . . . 7 SubGrp
4544sselda 3350 . . . . . 6 SubGrp
4620, 29sseldd 3351 . . . . . 6 SubGrp
473, 36, 31grpnpcan 14882 . . . . . 6
4843, 45, 46, 47syl3anc 1185 . . . . 5 SubGrp
49 ovex 6108 . . . . . 6
50 eqid 2438 . . . . . . 7
51 oveq2 6091 . . . . . . 7
5250, 51elrnmpt1s 5120 . . . . . 6
5329, 49, 52sylancl 645 . . . . 5 SubGrp
5448, 53eqeltrrd 2513 . . . 4 SubGrp
5510adantr 453 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
5633adantr 453 . . . . . . 7 SubGrp
5728sselda 3350 . . . . . . 7 SubGrp
5836subgcl 14956 . . . . . . 7 SubGrp
5955, 56, 57, 58syl3anc 1185 . . . . . 6 SubGrp
6059, 50fmptd 5895 . . . . 5 SubGrp
61 frn 5599 . . . . 5
6260, 61syl 16 . . . 4 SubGrp
63 eleq2 2499 . . . . . 6
64 sseq1 3371 . . . . . 6
6563, 64anbi12d 693 . . . . 5
6665rspcev 3054 . . . 4
6741, 54, 62, 66syl12anc 1183 . . 3 SubGrp
6867ralrimiva 2791 . 2 SubGrp
69 eltop2 17042 . . 3
708, 69syl 16 . 2 SubGrp
7168, 70mpbird 225 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  cuni 4017   cmpt 4268   crn 4881   cres 4882  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  ctopn 13651  cgrp 14687  csg 14690  SubGrpcsubg 14940  ctop 16960  TopOnctopon 16961  cnt 17083   chmeo 17787  ctgp 18103 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-tmd 18104  df-tgp 18105
 Copyright terms: Public domain W3C validator