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Theorem subgntr 17805
Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 17807, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
subgntr  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4718 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) "
( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3tgptopon 17781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
543ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
7 topontop 16680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
85, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
98adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
10 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
113subgss 14638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
13 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
146, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1512, 14sseqtrd 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716ntropn 16802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  e.  J )
189, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )
19 toponss 16683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
)  /\  ( ( int `  J ) `  S )  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  ( Base `  G ) )
206, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
21 resmpt 5016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2322rneqd 4922 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) )
241, 23syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
25 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
26 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2716ntrss2 16810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
289, 15, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  S )
29 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)
3028, 29sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  S )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3231subgsubcl 14648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3310, 26, 30, 32syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3412, 33sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )
35 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
36 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3735, 3, 36, 2tgplacthmeo 17802 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
3825, 34, 37syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
39 hmeoima 17472 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4038, 18, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4124, 40eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J )
42 tgpgrp 17777 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
4325, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
44113ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4544sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4620, 29sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
473, 36, 31grpnpcan 14573 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
49 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V
50 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
51 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A ) )
5250, 51elrnmpt1s 4943 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  /\  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5329, 49, 52sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  e. 
ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5448, 53eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5510adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
5633adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  S
)
5728sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  y  e.  S )
5836subgcl 14647 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  e.  S )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y )  e.  S
)
6059, 50fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S )
61 frn 5411 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
6260, 61syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
63 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) ) )
64 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( u  C_  S  <->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
)
6563, 64anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( ( x  e.  u  /\  u  C_  S )  <->  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) ) )
6665rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6741, 54, 62, 66syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6867ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
69 eltop2 16729 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
708, 69syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
7168, 70mpbird 223 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    Homeo chmeo 17460   TopGrpctgp 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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