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Theorem subgntr 17789
Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 17791, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
subgntr  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4702 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) "
( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3tgptopon 17765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
543ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
7 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
85, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
98adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
10 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
113subgss 14622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
13 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
146, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1512, 14sseqtrd 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716ntropn 16786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  e.  J )
189, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )
19 toponss 16667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
)  /\  ( ( int `  J ) `  S )  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  ( Base `  G ) )
206, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
21 resmpt 5000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2322rneqd 4906 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) )
241, 23syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
25 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
26 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2716ntrss2 16794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
289, 15, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  S )
29 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)
3028, 29sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  S )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3231subgsubcl 14632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3310, 26, 30, 32syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3412, 33sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )
35 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
36 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3735, 3, 36, 2tgplacthmeo 17786 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
3825, 34, 37syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
39 hmeoima 17456 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4038, 18, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4124, 40eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J )
42 tgpgrp 17761 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
4325, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
44113ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4544sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4620, 29sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
473, 36, 31grpnpcan 14557 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
49 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V
50 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
51 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A ) )
5250, 51elrnmpt1s 4927 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  /\  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5329, 49, 52sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  e. 
ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5448, 53eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5510adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
5633adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  S
)
5728sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  y  e.  S )
5836subgcl 14631 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  e.  S )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y )  e.  S
)
6059, 50fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S )
61 frn 5395 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
6260, 61syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
63 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) ) )
64 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( u  C_  S  <->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
)
6563, 64anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( ( x  e.  u  /\  u  C_  S )  <->  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) ) )
6665rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6741, 54, 62, 66syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6867ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
69 eltop2 16713 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
708, 69syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
7168, 70mpbird 223 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  SubGrpcsubg 14615   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754    Homeo chmeo 17444   TopGrpctgp 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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