Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgoablo Structured version   Unicode version

Theorem subgoablo 21901
 Description: A subgroup of an Abelian group is Abelian. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
subgoablo

Proof of Theorem subgoablo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . 2
2 eqid 2438 . . . . . . . . 9
3 eqid 2438 . . . . . . . . 9
42, 3subgornss 21896 . . . . . . . 8
54sseld 3349 . . . . . . 7
64sseld 3349 . . . . . . 7
75, 6anim12d 548 . . . . . 6
82isablo 21873 . . . . . . . 8
98simprbi 452 . . . . . . 7
10 rsp2 2770 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
127, 11sylan9r 641 . . . . 5
1312imp 420 . . . 4
143subgoov 21895 . . . . 5
1514adantll 696 . . . 4
163subgoov 21895 . . . . . 6
1716ancom2s 779 . . . . 5
1817adantll 696 . . . 4
1913, 15, 183eqtr4d 2480 . . 3
2019ralrimivva 2800 . 2
21 issubgo 21893 . . . 4
2221simp2bi 974 . . 3
233isablo 21873 . . . 4
2423biimpri 199 . . 3
2522, 24sylan 459 . 2
261, 20, 25syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  cgr 21776  cablo 21871  csubgo 21891 This theorem is referenced by:  efghgrp  21963 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fo 5462  df-fv 5464  df-ov 6086  df-grpo 21781  df-ablo 21872  df-subgo 21892
 Copyright terms: Public domain W3C validator