MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Unicode version

Theorem subgrcl 14626
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 14621 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 970 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  subg0  14627  subginv  14628  subgmulgcl  14634  subgsubm  14639  subsubg  14640  subgint  14641  isnsg  14646  nsgconj  14650  isnsg3  14651  ssnmz  14659  nmznsg  14661  eqger  14667  eqgid  14669  eqgen  14670  eqgcpbl  14671  divsgrp  14672  divseccl  14673  divsadd  14674  divs0  14675  divsinv  14676  divssub  14677  resghm2  14700  resghm2b  14701  conjsubg  14714  conjsubgen  14715  conjnmz  14716  conjnmzb  14717  divsghm  14719  subgga  14754  gastacos  14764  orbstafun  14765  cntrsubgnsg  14816  oppgsubg  14836  isslw  14919  sylow2blem1  14931  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  slwhash  14935  lsmval  14959  lsmelval  14960  lsmelvali  14961  lsmelvalm  14962  lsmsubg  14965  lsmless1  14970  lsmless2  14971  lsmless12  14972  lsmass  14979  lsm01  14980  lsm02  14981  subglsm  14982  lsmmod  14984  lsmcntz  14988  lsmcntzr  14989  lsmdisj2  14991  subgdisj1  15000  pj1f  15006  pj1id  15008  pj1lid  15010  pj1rid  15011  pj1ghm  15012  subgdmdprd  15269  subgdprd  15270  dprdsn  15271  pgpfaclem2  15317  cldsubg  17793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subg 14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator