MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 14951
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 14946 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 973 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   Grpcgrp 14687  SubGrpcsubg 14940
This theorem is referenced by:  subg0  14952  subginv  14953  subgmulgcl  14959  subgsubm  14964  subsubg  14965  subgint  14966  isnsg  14971  nsgconj  14975  isnsg3  14976  ssnmz  14984  nmznsg  14986  eqger  14992  eqgid  14994  eqgen  14995  eqgcpbl  14996  divsgrp  14997  divseccl  14998  divsadd  14999  divs0  15000  divsinv  15001  divssub  15002  resghm2  15025  resghm2b  15026  conjsubg  15039  conjsubgen  15040  conjnmz  15041  conjnmzb  15042  divsghm  15044  subgga  15079  gastacos  15089  orbstafun  15090  cntrsubgnsg  15141  oppgsubg  15161  isslw  15244  sylow2blem1  15256  sylow2blem2  15257  sylow2blem3  15258  slwhash  15260  lsmval  15284  lsmelval  15285  lsmelvali  15286  lsmelvalm  15287  lsmsubg  15290  lsmless1  15295  lsmless2  15296  lsmless12  15297  lsmass  15304  lsm01  15305  lsm02  15306  subglsm  15307  lsmmod  15309  lsmcntz  15313  lsmcntzr  15314  lsmdisj2  15316  subgdisj1  15325  pj1f  15331  pj1id  15333  pj1lid  15335  pj1rid  15336  pj1ghm  15337  subgdmdprd  15594  subgdprd  15595  dprdsn  15596  pgpfaclem2  15642  cldsubg  18142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-subg 14943
  Copyright terms: Public domain W3C validator