MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgss Structured version   Unicode version

Theorem subgss 14945
Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgss  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)

Proof of Theorem subgss
StepHypRef Expression
1 issubg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
21issubg 14944 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp2bi 973 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   Grpcgrp 14685  SubGrpcsubg 14938
This theorem is referenced by:  subgbas  14948  subg0  14950  subginv  14951  subgsubcl  14955  subgsub  14956  subgmulgcl  14957  subgmulg  14958  issubg2  14959  issubg4  14961  subsubg  14963  subgint  14964  nsgconj  14973  nsgacs  14976  ssnmz  14982  eqger  14990  eqgid  14992  eqgen  14993  eqgcpbl  14994  lagsubg2  15001  lagsubg  15002  resghm  15022  ghmnsgima  15029  conjsubg  15037  conjsubgen  15038  conjnmz  15039  conjnmzb  15040  gicsubgen  15065  subgga  15077  gasubg  15079  gastacos  15087  orbstafun  15088  cntrsubgnsg  15139  oddvds2  15202  subgpgp  15231  odcau  15238  pgpssslw  15248  sylow2blem1  15254  sylow2blem2  15255  sylow2blem3  15256  slwhash  15258  fislw  15259  sylow2  15260  sylow3lem1  15261  sylow3lem2  15262  sylow3lem3  15263  sylow3lem4  15264  sylow3lem5  15265  sylow3lem6  15266  lsmval  15282  lsmelval  15283  lsmelvali  15284  lsmelvalm  15285  lsmsubg  15288  lsmub1  15290  lsmub2  15291  lsmless1  15293  lsmless2  15294  lsmless12  15295  lsmass  15302  subglsm  15305  lsmmod  15307  cntzrecd  15310  lsmcntz  15311  lsmcntzr  15312  lsmdisj2  15314  subgdisj1  15323  pj1f  15329  pj1id  15331  pj1lid  15333  pj1rid  15334  pj1ghm  15335  subgabl  15455  ablcntzd  15472  lsmcom  15473  dprdff  15570  dprdfadd  15578  dprdres  15586  dprdss  15587  subgdmdprd  15592  dprdcntz2  15596  dmdprdsplit2lem  15603  ablfacrp  15624  ablfac1eu  15631  pgpfac1lem1  15632  pgpfac1lem2  15633  pgpfac1lem3a  15634  pgpfac1lem3  15635  pgpfac1lem4  15636  pgpfac1lem5  15637  pgpfaclem1  15639  pgpfaclem2  15640  pgpfaclem3  15641  ablfaclem3  15645  ablfac2  15647  issubrg2  15888  issubrg3  15896  islss4  16038  mpllsslem  16499  subgtgp  18135  subgntr  18136  opnsubg  18137  clssubg  18138  clsnsg  18139  cldsubg  18140  divstgpopn  18149  divstgphaus  18152  tgptsmscls  18179  subgnm  18674  subgngp  18676  lssnlm  18736  idomsubgmo  27491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-subg 14941
  Copyright terms: Public domain W3C validator