MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgss Unicode version

Theorem subgss 14638
Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgss  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)

Proof of Theorem subgss
StepHypRef Expression
1 issubg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
21issubg 14637 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp2bi 971 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631
This theorem is referenced by:  subgbas  14641  subg0  14643  subginv  14644  subgsubcl  14648  subgsub  14649  subgmulgcl  14650  subgmulg  14651  issubg2  14652  issubg4  14654  subsubg  14656  subgint  14657  nsgconj  14666  nsgacs  14669  ssnmz  14675  eqger  14683  eqgid  14685  eqgen  14686  eqgcpbl  14687  lagsubg2  14694  lagsubg  14695  resghm  14715  ghmnsgima  14722  conjsubg  14730  conjsubgen  14731  conjnmz  14732  conjnmzb  14733  gicsubgen  14758  subgga  14770  gasubg  14772  gastacos  14780  orbstafun  14781  cntrsubgnsg  14832  oddvds2  14895  subgpgp  14924  odcau  14931  pgpssslw  14941  sylow2blem1  14947  sylow2blem2  14948  sylow2blem3  14949  slwhash  14951  fislw  14952  sylow2  14953  sylow3lem1  14954  sylow3lem2  14955  sylow3lem3  14956  sylow3lem4  14957  sylow3lem5  14958  sylow3lem6  14959  lsmval  14975  lsmelval  14976  lsmelvali  14977  lsmelvalm  14978  lsmsubg  14981  lsmub1  14983  lsmub2  14984  lsmless1  14986  lsmless2  14987  lsmless12  14988  lsmass  14995  subglsm  14998  lsmmod  15000  cntzrecd  15003  lsmcntz  15004  lsmcntzr  15005  lsmdisj2  15007  subgdisj1  15016  pj1f  15022  pj1id  15024  pj1lid  15026  pj1rid  15027  pj1ghm  15028  subgabl  15148  ablcntzd  15165  lsmcom  15166  dprdff  15263  dprdfadd  15271  dprdres  15279  dprdss  15280  subgdmdprd  15285  dprdcntz2  15289  dprd2dlem1  15292  dmdprdsplit2lem  15296  ablfacrp  15317  ablfac1eu  15324  pgpfac1lem1  15325  pgpfac1lem2  15326  pgpfac1lem3a  15327  pgpfac1lem3  15328  pgpfac1lem4  15329  pgpfac1lem5  15330  pgpfaclem1  15332  pgpfaclem2  15333  pgpfaclem3  15334  ablfaclem3  15338  ablfac2  15340  issubrg2  15581  issubrg3  15589  islss4  15735  mpllsslem  16196  subgtgp  17804  subgntr  17805  opnsubg  17806  clssubg  17807  clsnsg  17808  cldsubg  17809  divstgpopn  17818  divstgphaus  17821  tgptsmscls  17848  subgnm  18165  subgngp  18167  lssnlm  18227  idomsubgmo  27617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-subg 14634
  Copyright terms: Public domain W3C validator