MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgss Unicode version

Theorem subgss 14622
Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgss  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)

Proof of Theorem subgss
StepHypRef Expression
1 issubg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
21issubg 14621 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp2bi 971 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  subgbas  14625  subg0  14627  subginv  14628  subgsubcl  14632  subgsub  14633  subgmulgcl  14634  subgmulg  14635  issubg2  14636  issubg4  14638  subsubg  14640  subgint  14641  nsgconj  14650  nsgacs  14653  ssnmz  14659  eqger  14667  eqgid  14669  eqgen  14670  eqgcpbl  14671  lagsubg2  14678  lagsubg  14679  resghm  14699  ghmnsgima  14706  conjsubg  14714  conjsubgen  14715  conjnmz  14716  conjnmzb  14717  gicsubgen  14742  subgga  14754  gasubg  14756  gastacos  14764  orbstafun  14765  cntrsubgnsg  14816  oddvds2  14879  subgpgp  14908  odcau  14915  pgpssslw  14925  sylow2blem1  14931  sylow2blem2  14932  sylow2blem3  14933  slwhash  14935  fislw  14936  sylow2  14937  sylow3lem1  14938  sylow3lem2  14939  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  sylow3lem5  14942  sylow3lem6  14943  lsmval  14959  lsmelval  14960  lsmelvali  14961  lsmelvalm  14962  lsmsubg  14965  lsmub1  14967  lsmub2  14968  lsmless1  14970  lsmless2  14971  lsmless12  14972  lsmass  14979  subglsm  14982  lsmmod  14984  cntzrecd  14987  lsmcntz  14988  lsmcntzr  14989  lsmdisj2  14991  subgdisj1  15000  pj1f  15006  pj1id  15008  pj1lid  15010  pj1rid  15011  pj1ghm  15012  subgabl  15132  ablcntzd  15149  lsmcom  15150  dprdff  15247  dprdfadd  15255  dprdres  15263  dprdss  15264  subgdmdprd  15269  dprdcntz2  15273  dprd2dlem1  15276  dmdprdsplit2lem  15280  ablfacrp  15301  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem1  15309  pgpfac1lem2  15310  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  pgpfac1lem4  15313  pgpfac1lem5  15314  pgpfaclem1  15316  pgpfaclem2  15317  pgpfaclem3  15318  ablfaclem3  15322  ablfac2  15324  issubrg2  15565  issubrg3  15573  islss4  15719  mpllsslem  16180  subgtgp  17788  subgntr  17789  opnsubg  17790  clssubg  17791  clsnsg  17792  cldsubg  17793  divstgpopn  17802  divstgphaus  17805  tgptsmscls  17832  subgnm  18149  subgngp  18151  lssnlm  18211  idomsubgmo  27514
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subg 14618
  Copyright terms: Public domain W3C validator