MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Unicode version

Theorem subgsubcl 14875
Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
subgsubcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 14865 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
4 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
53, 4sseldd 3285 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  G
) )
6 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
73, 6sseldd 3285 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  G
) )
8 eqid 2380 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9 eqid 2380 . . . 4  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
10 subgsubcl.p . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 8, 9, 10grpsubval 14768 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  G )  /\  Y  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
125, 7, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
139subginvcl 14873 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  Y  e.  S )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  S )
14133adant2 976 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  S )
158subgcl 14874 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  Y
) )  e.  S
)
1614, 15syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  e.  S )
1712, 16eqeltrd 2454 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   inv gcminusg 14606   -gcsg 14608  SubGrpcsubg 14858
This theorem is referenced by:  issubg4  14881  ssnmz  14902  subgdisj1  15243  dprdfeq0  15500  pgpfac1lem3  15555  subgntr  18050  opnsubg  18051  clssubg  18052  clmsubcl  18974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861
  Copyright terms: Public domain W3C validator