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Theorem subislly 17465
Description: The property of a subspace being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, A    u, B, x, y    u, J, x, y    u, V, x, y

Proof of Theorem subislly
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 17146 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
2 islly 17452 . . . 4  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
32baib 872 . . 3  |-  ( ( Jt  B )  e.  Top  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
5 vex 2902 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65inex1 4285 . . . 4  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
8 elrest 13582 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
9 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  z  =  ( x  i^i  B ) )
109raleqdv 2853 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
11 elin 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z
)  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z ) )
1211anbi1i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
13 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1412, 13bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1514rexbii2 2678 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
16 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
1716inex1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  B
)  e.  _V )
19 elrest 13582 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
2019ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
21 3anass 940 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ~P z  /\  y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <-> 
( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
22 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  w  =  ( u  i^i  B ) )
23 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
z  =  ( x  i^i  B ) )
2422, 23sseq12d 3320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  C_  z  <->  ( u  i^i  B ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) )
25 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
2625elpw 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
27 inss2 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  B )  C_  B
2827biantru 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  B )  C_  x  /\  ( u  i^i  B )  C_  B ) )
29 ssin 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  B
)  C_  x  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B )  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3028, 29bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3124, 26, 303bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ~P z 
<->  ( u  i^i  B
)  C_  x )
)
3222eleq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
33 inss2 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
34 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  ( x  i^i  B ) )
3533, 34sseldi 3289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  B )
3635biantrud 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B )
) )
37 elin 3473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( u  i^i 
B )  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B ) )
3836, 37syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
3932, 38bitr4d 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  u ) )
4022oveq2d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( ( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) ) )
41 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  J  e.  Top )
4227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( u  i^i  B
)  C_  B )
43 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
45 restabs 17151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (
( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i 
B ) ) )
4641, 42, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  ( u  i^i  B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4740, 46eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4847eleq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( ( Jt  B )t  w )  e.  A  <->  ( Jt  ( u  i^i  B
) )  e.  A
) )
4931, 39, 483anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5021, 49syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5118, 20, 50rexxfr2d 4680 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5215, 51syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5352ralbidva 2665 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5410, 53bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
557, 8, 54ralxfr2d 4679 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
564, 55bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575   Topctop 16881  Locally clly 17448
This theorem is referenced by:  iccllyscon  24716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-lly 17450
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