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Theorem subislly 17223
Description: The property of a subspace being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, A    u, B, x, y    u, J, x, y    u, V, x, y

Proof of Theorem subislly
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 16907 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
2 islly 17210 . . . 4  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
32baib 871 . . 3  |-  ( ( Jt  B )  e.  Top  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
5 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65inex1 4171 . . . 4  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
8 elrest 13348 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
9 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  z  =  ( x  i^i  B ) )
109raleqdv 2755 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
11 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z
)  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z ) )
1211anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
13 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1412, 13bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1514rexbii2 2585 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
16 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
1716inex1 4171 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  B )  e. 
_V
1817a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  B
)  e.  _V )
19 elrest 13348 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
2019ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
21 3anass 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ~P z  /\  y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <-> 
( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  w  =  ( u  i^i  B ) )
23 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
z  =  ( x  i^i  B ) )
2422, 23sseq12d 3220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  C_  z  <->  ( u  i^i  B ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) )
25 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
2625elpw 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
27 inss2 3403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  B )  C_  B
2827biantru 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  B )  C_  x  /\  ( u  i^i  B )  C_  B ) )
29 ssin 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  B
)  C_  x  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B )  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3028, 29bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3124, 26, 303bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ~P z 
<->  ( u  i^i  B
)  C_  x )
)
3222eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
33 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
34 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  ( x  i^i  B ) )
3533, 34sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  B )
3635biantrud 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B )
) )
37 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( u  i^i 
B )  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B ) )
3836, 37syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
3932, 38bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  u ) )
4022oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( ( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) ) )
41 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  J  e.  Top )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  J  e.  Top )
4327a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( u  i^i  B
)  C_  B )
44 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
46 restabs 16912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (
( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i 
B ) ) )
4742, 43, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  ( u  i^i  B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4840, 47eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( ( Jt  B )t  w )  e.  A  <->  ( Jt  ( u  i^i  B
) )  e.  A
) )
5031, 39, 493anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5121, 50syl5bbr 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5218, 20, 51rexxfr2d 4567 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5315, 52syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5453ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5510, 54bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
567, 8, 55ralxfr2d 4566 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
574, 56bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  Locally clly 17206
This theorem is referenced by:  iccllyscon  23796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-lly 17208
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