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Theorem submacs 14458
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
submacs  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem submacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3issubm 14441 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) )
5 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  s  e. 
_V
65elpw 3644 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
76anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
8 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  B  /\  ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
97, 8bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) )
104, 9syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  e.  ~P B  /\  (
( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) ) )
1110abbi2dv 2411 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) } )
12 df-rab 2565 . . 3  |-  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) }
1311, 12syl6eqr 2346 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  e.  ~P B  |  ( ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) } )
14 inrab 3453 . . 3  |-  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  =  { s  e. 
~P B  |  ( ( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) }
15 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
161, 15eqeltri 2366 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
17 mreacs 13576 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
1816, 17mp1i 11 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
191, 2mndidcl 14407 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
20 acsfn0 13578 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2116, 19, 20sylancr 644 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  e.  (ACS `  B
) )
221, 3mndcl 14388 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
23223expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
2423ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  B
)
25 acsfn2 13581 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2616, 24, 25sylancr 644 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
27 mreincl 13517 . . . 4  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  { s  e. 
~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B )  /\  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  i^i  { s  e. 
~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B )
)
2818, 21, 26, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B
) )
2914, 28syl5eqelr 2381 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  e.  (ACS
`  B ) )
3013, 29eqeltrd 2370 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416  Moorecmre 13500  ACScacs 13503   Mndcmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430
This theorem is referenced by:  gsumwspan  14484  subgacs  14668  cntzspan  15153  gsumzsplit  15222  gsumzoppg  15232  gsumpt  15238  symggen  27514  subrgacs  27611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432
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