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Theorem submacs 14767
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
submacs  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem submacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3issubm 14750 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) )
5 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  s  e. 
_V
65elpw 3807 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
76anbi1i 678 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
8 3anass 941 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  B  /\  ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
97, 8bitr4i 245 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) )
104, 9syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  e.  ~P B  /\  (
( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) ) )
1110abbi2dv 2553 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) } )
12 df-rab 2716 . . 3  |-  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) }
1311, 12syl6eqr 2488 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  e.  ~P B  |  ( ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) } )
14 inrab 3615 . . 3  |-  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  =  { s  e. 
~P B  |  ( ( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) }
15 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
161, 15eqeltri 2508 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
17 mreacs 13885 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
1816, 17mp1i 12 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
191, 2mndidcl 14716 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
20 acsfn0 13887 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2116, 19, 20sylancr 646 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  e.  (ACS `  B
) )
221, 3mndcl 14697 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
23223expb 1155 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
2423ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  B
)
25 acsfn2 13890 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2616, 24, 25sylancr 646 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
27 mreincl 13826 . . . 4  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  { s  e. 
~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B )  /\  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  i^i  { s  e. 
~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B )
)
2818, 21, 26, 27syl3anc 1185 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B
) )
2914, 28syl5eqelr 2523 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  e.  (ACS
`  B ) )
3013, 29eqeltrd 2512 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725  Moorecmre 13809  ACScacs 13812   Mndcmnd 14686  SubMndcsubmnd 14739
This theorem is referenced by:  gsumwspan  14793  subgacs  14977  cntzspan  15462  gsumzsplit  15531  gsumzoppg  15541  gsumpt  15547  symggen  27390  subrgacs  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741
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