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Theorem submacs 14442
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
submacs  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem submacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3issubm 14425 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) )
5 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  s  e. 
_V
65elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
76anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
8 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  B  /\  ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
97, 8bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) )
104, 9syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  e.  ~P B  /\  (
( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) ) )
1110abbi2dv 2398 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) } )
12 df-rab 2552 . . 3  |-  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) }
1311, 12syl6eqr 2333 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  e.  ~P B  |  ( ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) } )
14 inrab 3440 . . 3  |-  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  =  { s  e. 
~P B  |  ( ( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) }
15 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
161, 15eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
17 mreacs 13560 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
1816, 17mp1i 11 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
191, 2mndidcl 14391 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
20 acsfn0 13562 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2116, 19, 20sylancr 644 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  e.  (ACS `  B
) )
221, 3mndcl 14372 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
23223expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
2423ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  B
)
25 acsfn2 13565 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2616, 24, 25sylancr 644 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
27 mreincl 13501 . . . 4  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  { s  e. 
~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B )  /\  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  i^i  { s  e. 
~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B )
)
2818, 21, 26, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B
) )
2914, 28syl5eqelr 2368 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  e.  (ACS
`  B ) )
3013, 29eqeltrd 2357 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400  Moorecmre 13484  ACScacs 13487   Mndcmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414
This theorem is referenced by:  gsumwspan  14468  subgacs  14652  cntzspan  15137  gsumzsplit  15206  gsumzoppg  15216  gsumpt  15222  symggen  27411  subrgacs  27508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416
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