MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmnd Structured version   Unicode version

Theorem submmnd 14785
Description: Submonoids are themselves monoids under the given operation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submmnd.h  |-  H  =  ( Ms  S )
Assertion
Ref Expression
submmnd  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  H  e.  Mnd )

Proof of Theorem submmnd
StepHypRef Expression
1 submrcl 14778 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  Mnd )
2 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
4 submmnd.h . . . . 5  |-  H  =  ( Ms  S )
52, 3, 4issubm2 14780 . . . 4  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( 0g `  M
)  e.  S  /\  H  e.  Mnd )
) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( 0g `  M )  e.  S  /\  H  e. 
Mnd ) ) )
76ibi 234 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  ( 0g `  M )  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) )
87simp3d 972 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  H  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   ↾s cress 13501   0gc0g 13754   Mndcmnd 14715  SubMndcsubmnd 14768
This theorem is referenced by:  subm0  14787  subsubm  14788  resmhm  14790  resmhm2b  14792  submcmn  15488  submcmn2  15489  gsumzsubmcl  15554  xrge0cmn  16771  expmhm  16807  submtmd  18165  tsmssubm  18203  amgmlem  20859  deg1mhm  27541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770
  Copyright terms: Public domain W3C validator