Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Unicode version

Theorem submmulg 14927
 Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t .g
submmulg.h s
submmulg.t .g
Assertion
Ref Expression
submmulg SubMnd

Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . . 6 SubMnd SubMnd
2 submmulg.h . . . . . . 7 s
3 eqid 2438 . . . . . . 7
42, 3ressplusg 13573 . . . . . 6 SubMnd
51, 4syl 16 . . . . 5 SubMnd
65seqeq2d 11332 . . . 4 SubMnd
76fveq1d 5732 . . 3 SubMnd
8 simpr 449 . . . 4 SubMnd
9 eqid 2438 . . . . . . . 8
109submss 14752 . . . . . . 7 SubMnd
11103ad2ant1 979 . . . . . 6 SubMnd
12 simp3 960 . . . . . 6 SubMnd
1311, 12sseldd 3351 . . . . 5 SubMnd
1413adantr 453 . . . 4 SubMnd
15 submmulgcl.t . . . . 5 .g
16 eqid 2438 . . . . 5
179, 3, 15, 16mulgnn 14898 . . . 4
188, 14, 17syl2anc 644 . . 3 SubMnd
192submbas 14757 . . . . . . 7 SubMnd
20193ad2ant1 979 . . . . . 6 SubMnd
2112, 20eleqtrd 2514 . . . . 5 SubMnd
2221adantr 453 . . . 4 SubMnd
23 eqid 2438 . . . . 5
24 eqid 2438 . . . . 5
25 submmulg.t . . . . 5 .g
26 eqid 2438 . . . . 5
2723, 24, 25, 26mulgnn 14898 . . . 4
288, 22, 27syl2anc 644 . . 3 SubMnd
297, 18, 283eqtr4d 2480 . 2 SubMnd
30 simpl1 961 . . . . 5 SubMnd SubMnd
31 eqid 2438 . . . . . 6
322, 31subm0 14758 . . . . 5 SubMnd
3330, 32syl 16 . . . 4 SubMnd
3413adantr 453 . . . . 5 SubMnd
359, 31, 15mulg0 14897 . . . . 5
3634, 35syl 16 . . . 4 SubMnd
3721adantr 453 . . . . 5 SubMnd
38 eqid 2438 . . . . . 6
3923, 38, 25mulg0 14897 . . . . 5
4037, 39syl 16 . . . 4 SubMnd
4133, 36, 403eqtr4d 2480 . . 3 SubMnd
42 simpr 449 . . . 4 SubMnd
4342oveq1d 6098 . . 3 SubMnd
4442oveq1d 6098 . . 3 SubMnd
4541, 43, 443eqtr4d 2480 . 2 SubMnd
46 simp2 959 . . 3 SubMnd
47 elnn0 10225 . . 3
4846, 47sylib 190 . 2 SubMnd
4929, 45, 48mpjaodan 763 1 SubMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322  csn 3816   cxp 4878  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc0 8992  c1 8993  cn 10002  cn0 10223   cseq 11325  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  c0g 13725  .gcmg 14691  SubMndcsubmnd 14739 This theorem is referenced by:  submod  15205  dchrfi  21041  dchrabs  21046  lgsqrlem1  21127  lgseisenlem4  21138  dchrisum0flblem1  21204  idomodle  27491  proot1ex  27499 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-seq 11326  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817
 Copyright terms: Public domain W3C validator