MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submrcl Structured version   Unicode version

Theorem submrcl 14739
Description: Reverse closure for submonoids. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
submrcl  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  Mnd )

Proof of Theorem submrcl
Dummy variables  t  x  y  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-submnd 14731 . . 3  |- SubMnd  =  ( s  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  s )  |  ( ( 0g `  s )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  s ) y )  e.  t ) } )
21dmmptss 5358 . 2  |-  dom SubMnd  C_  Mnd
3 elfvdm 5749 . 2  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  dom SubMnd )
42, 3sseldi 3338 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  ->  M  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   ~Pcpw 3791   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676  SubMndcsubmnd 14729
This theorem is referenced by:  submss  14742  subm0cl  14744  submcl  14745  submmnd  14746  subm0  14748  subsubm  14749  resmhm2  14752  gsumsubm  14770  gsumwsubmcl  14776  submmulgcl  14916  oppgsubm  15150  lsmub1x  15272  lsmub2x  15273  lsmsubm  15279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fv 5454  df-submnd 14731
  Copyright terms: Public domain W3C validator