MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0d Unicode version

Theorem subne0d 9352
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
subne0d  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 negidd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pncand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 subeq0 9259 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
65necon3bid 2585 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =/=  0  <->  A  =/=  B ) )
71, 6mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923    - cmin 9223
This theorem is referenced by:  abssubne0  12047  rlimuni  12271  climuni  12273  evth  18855  dvlem  19650  dvconst  19670  dvid  19671  dvcnp2  19673  dvaddbr  19691  dvmulbr  19692  dvcobr  19699  dvcjbr  19702  dvrec  19708  dvcnvlem  19727  dvferm2lem  19737  taylthlem2  20157  ulmdvlem1  20183  ang180lem4  20521  ang180lem5  20522  ang180  20523  isosctrlem3  20531  isosctr  20532  ssscongptld  20533  angpieqvdlem  20536  angpieqvdlem2  20537  angpined  20538  angpieqvd  20539  chordthmlem  20540  chordthmlem2  20541  asinlem  20575  lgamgulmlem2  24593  lgamgulmlem3  24594  brbtwn2  25558  axcontlem8  25624  pellexlem6  26588  jm2.26lem3  26763  stoweidlem23  27440  wallispilem4  27485  wallispi  27487  wallispi2lem1  27488  wallispi2lem2  27489  wallispi2  27490  stirlinglem5  27495  sigardiv  27519  sigarcol  27522  sharhght  27523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058  df-sub 9225
  Copyright terms: Public domain W3C validator