MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subopnmbl Structured version   Unicode version

Theorem subopnmbl 19501
Description: Sets which are open in a measurable subspace are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subopnmbl.1  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
Assertion
Ref Expression
subopnmbl  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  J )  ->  B  e.  dom  vol )

Proof of Theorem subopnmbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subopnmbl.1 . . . . 5  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
21eleq2i 2502 . . . 4  |-  ( B  e.  J  <->  B  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
3 retop 18800 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
4 elrest 13660 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( B  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  <->  E. x  e.  (
topGen `  ran  (,) ) B  =  ( x  i^i  A ) ) )
53, 4mpan 653 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( B  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  <->  E. x  e.  (
topGen `  ran  (,) ) B  =  ( x  i^i  A ) ) )
62, 5syl5bb 250 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( B  e.  J  <->  E. x  e.  ( topGen `  ran  (,) ) B  =  ( x  i^i  A ) ) )
7 opnmbl 19499 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  dom  vol )
8 id 21 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
9 inmbl 19441 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
107, 8, 9syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  dom  vol )
11 eleq1a 2507 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  dom  vol  ->  ( B  =  ( x  i^i  A )  ->  B  e.  dom  vol )
)
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( B  =  ( x  i^i  A )  ->  B  e.  dom  vol ) )
1312rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( E. x  e.  (
topGen `  ran  (,) ) B  =  ( x  i^i  A )  ->  B  e.  dom  vol ) )
146, 13sylbid 208 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( B  e.  J  ->  B  e.  dom  vol )
)
1514imp 420 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  J )  ->  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    i^i cin 3321   dom cdm 4881   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   (,)cioo 10921   ↾t crest 13653   topGenctg 13670   Topctop 16963   volcvol 19365
This theorem is referenced by:  cnmbf  19554  cnambfre  26267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cmp 17455  df-ovol 19366  df-vol 19367
  Copyright terms: Public domain W3C validator