Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Unicode version

Theorem subrgascl 16558
 Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p mPoly
subrgascl.a algSc
subrgascl.h s
subrgascl.u mPoly
subrgascl.i
subrgascl.r SubRing
subrgascl.c algSc
Assertion
Ref Expression
subrgascl

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 algSc
2 eqid 2436 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2436 . . . 4 Scalar Scalar
41, 2, 3asclfn 16395 . . 3 Scalar
5 subrgascl.r . . . . . 6 SubRing
6 subrgascl.h . . . . . . 7 s
76subrgbas 15877 . . . . . 6 SubRing
85, 7syl 16 . . . . 5
9 subrgascl.u . . . . . . 7 mPoly
10 subrgascl.i . . . . . . 7
11 ovex 6106 . . . . . . . . 9 s
126, 11eqeltri 2506 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
149, 10, 13mplsca 16508 . . . . . 6 Scalar
1514fveq2d 5732 . . . . 5 Scalar
168, 15eqtrd 2468 . . . 4 Scalar
1716fneq2d 5537 . . 3 Scalar
184, 17mpbiri 225 . 2
19 subrgascl.a . . . . 5 algSc
20 eqid 2436 . . . . 5 Scalar Scalar
21 eqid 2436 . . . . 5 Scalar Scalar
2219, 20, 21asclfn 16395 . . . 4 Scalar
23 subrgascl.p . . . . . . 7 mPoly
24 subrgrcl 15873 . . . . . . . 8 SubRing
255, 24syl 16 . . . . . . 7
2623, 10, 25mplsca 16508 . . . . . 6 Scalar
2726fveq2d 5732 . . . . 5 Scalar
2827fneq2d 5537 . . . 4 Scalar
2922, 28mpbiri 225 . . 3
30 eqid 2436 . . . . 5
3130subrgss 15869 . . . 4 SubRing
325, 31syl 16 . . 3
33 fnssres 5558 . . 3
3429, 32, 33syl2anc 643 . 2
35 fvres 5745 . . . 4
37 eqid 2436 . . . . . . . . 9
386, 37subrg0 15875 . . . . . . . 8 SubRing
395, 38syl 16 . . . . . . 7
4039ifeq2d 3754 . . . . . 6
4140adantr 452 . . . . 5
4241mpteq2dv 4296 . . . 4
43 eqid 2436 . . . . 5
4410adantr 452 . . . . 5
4525adantr 452 . . . . 5
4632sselda 3348 . . . . 5
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 16556 . . . 4
48 eqid 2436 . . . . 5
49 eqid 2436 . . . . 5
506subrgrng 15871 . . . . . . 7 SubRing
515, 50syl 16 . . . . . 6
5251adantr 452 . . . . 5
538eleq2d 2503 . . . . . 6
5453biimpa 471 . . . . 5
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 16556 . . . 4
5642, 47, 553eqtr4d 2478 . . 3
5736, 56eqtr2d 2469 . 2
5818, 34, 57eqfnfvd 5830 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956   wss 3320  cif 3739  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   cres 4880  cima 4881   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cfn 7109  cc0 8990  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469   ↾s cress 13470  Scalarcsca 13532  c0g 13723  crg 15660  SubRingcsubrg 15864  algSccascl 16371   mPoly cmpl 16408 This theorem is referenced by:  subrgasclcl  16559  subrg1ascl  16652 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mpl 16419
 Copyright terms: Public domain W3C validator