MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Unicode version

Theorem subrgbas 15554
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgbas  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 15551 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubGrp `  R ) )
2 subrgbas.b . . 3  |-  S  =  ( Rs  A )
32subgbas 14625 . 2  |-  ( A  e.  (SubGrp `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
41, 3syl 15 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149  SubGrpcsubg 14615  SubRingcsubrg 15541
This theorem is referenced by:  subrg1  15555  subrgmcl  15557  subrgdvds  15559  subrguss  15560  subrginv  15561  subrgdv  15562  subrgunit  15563  issubdrg  15570  subsubrg  15571  abvres  15604  sraassa  16065  resspsrbas  16159  resspsradd  16160  resspsrmul  16161  resspsrvsca  16162  subrgpsr  16163  subrgascl  16239  subrgasclcl  16240  qsssubdrg  16431  gzrngunitlem  16436  gzrngunit  16437  zrngunit  16438  prmirredlem  16446  prmirred  16448  expghm  16450  mulgghm2  16459  mulgrhm  16460  mulgrhm2  16461  zlmlmod  16477  zlmassa  16478  znlidl  16487  znbas  16497  znzrh2  16499  znzrhfo  16501  zndvds  16503  znf1o  16505  zzngim  16506  znfld  16514  znidomb  16515  znunit  16517  znrrg  16519  cygznlem3  16523  frgpcyg  16527  sranlm  18195  isclmi  18575  plypf1  19594  reefgim  19826  lgsqrlem1  20580  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-subg 14618  df-rng 15340  df-subrg 15543
  Copyright terms: Public domain W3C validator