Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Unicode version

Theorem subrgdv 15886
 Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 s
subrgdv.2 /r
subrgdv.3 Unit
subrgdv.4 /r
Assertion
Ref Expression
subrgdv SubRing

Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 s
2 eqid 2437 . . . . . 6
3 subrgdv.3 . . . . . 6 Unit
4 eqid 2437 . . . . . 6
51, 2, 3, 4subrginv 15885 . . . . 5 SubRing
653adant2 977 . . . 4 SubRing
76oveq2d 6098 . . 3 SubRing
8 eqid 2437 . . . . . 6
91, 8ressmulr 13583 . . . . 5 SubRing
1093ad2ant1 979 . . . 4 SubRing
1110oveqd 6099 . . 3 SubRing
127, 11eqtrd 2469 . 2 SubRing
13 eqid 2437 . . . . . 6
1413subrgss 15870 . . . . 5 SubRing
15143ad2ant1 979 . . . 4 SubRing
16 simp2 959 . . . 4 SubRing
1715, 16sseldd 3350 . . 3 SubRing
18 eqid 2437 . . . . . 6 Unit Unit
191, 18, 3subrguss 15884 . . . . 5 SubRing Unit
20193ad2ant1 979 . . . 4 SubRing Unit
21 simp3 960 . . . 4 SubRing
2220, 21sseldd 3350 . . 3 SubRing Unit
23 subrgdv.2 . . . 4 /r
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 15791 . . 3 Unit
2517, 22, 24syl2anc 644 . 2 SubRing
261subrgbas 15878 . . . . 5 SubRing
27263ad2ant1 979 . . . 4 SubRing
2816, 27eleqtrd 2513 . . 3 SubRing
29 eqid 2437 . . . 4
30 eqid 2437 . . . 4
31 subrgdv.4 . . . 4 /r
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 15791 . . 3
3328, 21, 32syl2anc 644 . 2 SubRing
3412, 25, 333eqtr4d 2479 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3321  cfv 5455  (class class class)co 6082  cbs 13470   ↾s cress 13471  cmulr 13531  Unitcui 15745  cinvr 15777  /rcdvr 15788  SubRingcsubrg 15865 This theorem is referenced by:  qsssubdrg  16759  qrngdiv  21319  redvr  24278 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-subg 14942  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-subrg 15867
 Copyright terms: Public domain W3C validator