Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdvds Structured version   Unicode version

Theorem subrgdvds 15884
 Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdvds.1 s
subrgdvds.2 r
subrgdvds.3 r
Assertion
Ref Expression
subrgdvds SubRing

Proof of Theorem subrgdvds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgdvds.3 . . . 4 r
21reldvdsr 15751 . . 3
32a1i 11 . 2 SubRing
4 subrgdvds.1 . . . . . . . 8 s
54subrgbas 15879 . . . . . . 7 SubRing
6 eqid 2438 . . . . . . . 8
76subrgss 15871 . . . . . . 7 SubRing
85, 7eqsstr3d 3385 . . . . . 6 SubRing
98sseld 3349 . . . . 5 SubRing
10 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
114, 10ressmulr 13584 . . . . . . . . 9 SubRing
1211oveqd 6100 . . . . . . . 8 SubRing
1312eqeq1d 2446 . . . . . . 7 SubRing
1413rexbidv 2728 . . . . . 6 SubRing
15 ssrexv 3410 . . . . . . 7
168, 15syl 16 . . . . . 6 SubRing
1714, 16sylbird 228 . . . . 5 SubRing
189, 17anim12d 548 . . . 4 SubRing
19 eqid 2438 . . . . 5
20 eqid 2438 . . . . 5
2119, 1, 20dvdsr 15753 . . . 4
22 subrgdvds.2 . . . . 5 r
236, 22, 10dvdsr 15753 . . . 4
2418, 21, 233imtr4g 263 . . 3 SubRing
25 df-br 4215 . . 3
26 df-br 4215 . . 3
2724, 25, 263imtr3g 262 . 2 SubRing
283, 27relssdv 4970 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   wss 3322  cop 3819   class class class wbr 4214   wrel 4885  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   ↾s cress 13472  cmulr 13532  rcdsr 15745  SubRingcsubrg 15866 This theorem is referenced by:  subrguss  15885 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-mulr 13545  df-subg 14943  df-rng 15665  df-dvdsr 15748  df-subrg 15868
 Copyright terms: Public domain W3C validator