MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgid Unicode version

Theorem subrgid 15596
Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgid  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)

Proof of Theorem subrgid
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
21ressid 13250 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Rs  B )  =  R )
3 id 19 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
42, 3eqeltrd 2390 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Rs  B )  e.  Ring )
54ancli 534 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  B )  e.  Ring ) )
6 eqid 2316 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
71, 6rngidcl 15410 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
8 ssid 3231 . . 3  |-  B  C_  B
97, 8jctil 523 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( B 
C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B ) )
101, 6issubrg 15594 . 2  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 645 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   ↾s cress 13196   Ringcrg 15386   1rcur 15388  SubRingcsubrg 15590
This theorem is referenced by:  subrgmre  15618  rlmlmod  16006  rlmassa  16115  aspval  16117  rlmnlm  18251  rlmbn  18831  evlrhm  19462  evl1sca  19466  evl1var  19468  mpfsubrg  19477  pf1subrg  19484  pf1ind  19491  dvply2  19719  dvnply  19721  taylply  19801  mzpmfp  25973  rgspnval  26521  rgspncl  26522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-subrg 15592
  Copyright terms: Public domain W3C validator