Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Unicode version

Theorem subrgint 15892
 Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint SubRing SubRing

Proof of Theorem subrgint
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 15876 . . . . 5 SubRing SubGrp
21ssriv 3354 . . . 4 SubRing SubGrp
3 sstr 3358 . . . 4 SubRing SubRing SubGrp SubGrp
42, 3mpan2 654 . . 3 SubRing SubGrp
5 subgint 14966 . . 3 SubGrp SubGrp
64, 5sylan 459 . 2 SubRing SubGrp
7 ssel2 3345 . . . . . 6 SubRing SubRing
87adantlr 697 . . . . 5 SubRing SubRing
9 eqid 2438 . . . . . 6
109subrg1cl 15878 . . . . 5 SubRing
118, 10syl 16 . . . 4 SubRing
1211ralrimiva 2791 . . 3 SubRing
13 fvex 5744 . . . 4
1413elint2 4059 . . 3
1512, 14sylibr 205 . 2 SubRing
168adantlr 697 . . . . . 6 SubRing SubRing
17 simprl 734 . . . . . . 7 SubRing
18 elinti 4061 . . . . . . . 8
1918imp 420 . . . . . . 7
2017, 19sylan 459 . . . . . 6 SubRing
21 simprr 735 . . . . . . 7 SubRing
22 elinti 4061 . . . . . . . 8
2322imp 420 . . . . . . 7
2421, 23sylan 459 . . . . . 6 SubRing
25 eqid 2438 . . . . . . 7
2625subrgmcl 15882 . . . . . 6 SubRing
2716, 20, 24, 26syl3anc 1185 . . . . 5 SubRing
2827ralrimiva 2791 . . . 4 SubRing
29 ovex 6108 . . . . 5
3029elint2 4059 . . . 4
3128, 30sylibr 205 . . 3 SubRing
3231ralrimivva 2800 . 2 SubRing
33 ssn0 3662 . . 3 SubRing SubRing
34 n0 3639 . . . 4 SubRing SubRing
35 subrgrcl 15875 . . . . 5 SubRing
3635exlimiv 1645 . . . 4 SubRing
3734, 36sylbi 189 . . 3 SubRing
38 eqid 2438 . . . 4
3938, 9, 25issubrg2 15890 . . 3 SubRing SubGrp
4033, 37, 393syl 19 . 2 SubRing SubRing SubGrp
416, 15, 32, 40mpbir3and 1138 1 SubRing SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   wss 3322  c0 3630  cint 4052  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471  cmulr 13532  SubGrpcsubg 14940  crg 15662  cur 15664  SubRingcsubrg 15866 This theorem is referenced by:  subrgin  15893  subrgmre  15894  aspsubrg  16392  rgspncl  27353 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868
 Copyright terms: Public domain W3C validator