MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmcl Unicode version

Theorem subrgmcl 15656
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgmcl.p  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgmcl  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)

Proof of Theorem subrgmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
2 subrgmcl.p . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
31, 2ressmulr 13358 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
433ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  .x.  =  ( .r `  ( Rs  A ) ) )
54oveqd 5962 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  =  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y ) )
61subrgrng 15647 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
763ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
8 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  A )
91subrgbas 15653 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
1093ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  A  =  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
118, 10eleqtrd 2434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
12 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  A )
1312, 10eleqtrd 2434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A
) ) )
14 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Rs  A ) )  =  ( Base `  ( Rs  A ) )
15 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( Rs  A ) )  =  ( .r
`  ( Rs  A ) )
1614, 15rngcl 15453 . . . 4  |-  ( ( ( Rs  A )  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  ( Rs  A ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )  ->  ( X ( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
177, 11, 13, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X
( .r `  ( Rs  A ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Rs  A ) ) )
185, 17eqeltrd 2432 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  (
Base `  ( Rs  A
) ) )
1918, 10eleqtrrd 2435 1  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   ↾s cress 13246   .rcmulr 13306   Ringcrg 15436  SubRingcsubrg 15640
This theorem is referenced by:  issubrg2  15664  subrgint  15666  abvres  15703  issubassa2  16183  resspsrmul  16260  mplbas2  16311  cnsubrg  16538  clmmcl  18686  cphdivcl  18722  cphabscl  18725  cphsqrcl2  18726  cphsqrcl3  18727  mpfmulcl  19531  pf1mulcl  19541  plypf1  19698  dvply2g  19769  taylply2  19851  cnsrexpcl  26693  cnsrplycl  26695  rngunsnply  26701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-mnd 14466  df-subg 14717  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-subrg 15642
  Copyright terms: Public domain W3C validator