MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvr Unicode version

Theorem subrgmvr 16415
Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
Assertion
Ref Expression
subrgmvr  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )

Proof of Theorem subrgmvr
Dummy variables  x  y  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgmvr.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
2 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3subrg1 15765 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  H ) )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  H ) )
6 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6subrg0 15762 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
81, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
95, 8ifeq12d 3670 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) )
109mpteq2dv 4209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) )
1110mpteq2dv 4209 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) ) )
12 subrgmvr.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
13 eqid 2366 . . 3  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 subrgmvr.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
15 subrgrcl 15760 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
161, 15syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1712, 13, 6, 3, 14, 16mvrfval 16375 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
18 eqid 2366 . . 3  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
19 eqid 2366 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
20 eqid 2366 . . 3  |-  ( 1r
`  H )  =  ( 1r `  H
)
21 ovex 6006 . . . . 5  |-  ( Rs  T )  e.  _V
222, 21eqeltri 2436 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2322a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
2418, 13, 19, 20, 14, 23mvrfval 16375 . 2  |-  ( ph  ->  ( I mVar  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  H ) ,  ( 0g `  H
) ) ) ) )
2511, 17, 243eqtr4d 2408 1  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   _Vcvv 2873   ifcif 3654    e. cmpt 4179   `'ccnv 4791   "cima 4795   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   0cc0 8884   1c1 8885   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ↾s cress 13357   0gc0g 13610   Ringcrg 15547   1rcur 15549  SubRingcsubrg 15751   mVar cmvr 16298
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  16416  subrgvr1  16548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-subg 14828  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-mvr 16309
  Copyright terms: Public domain W3C validator