Theorem subrgmvr 16205

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	|- V = ( I mVar R )
subrgmvr.i	|- ( ph -> I e. W )
subrgmvr.r	|- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
subrgmvr.h	|- H = ( R ↾s T )

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	|- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables x y f z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 |- H = ( R ↾s T )
3		eqid 2283	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	subrg1 15555	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
5	1, 4	syl 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
6		eqid 2283	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
7	2, 6	subrg0 15552	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
8	1, 7	syl 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
9	5, 8	ifeq12d 3581	. . . 4 |- ( ph -> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) )
10	9	mpteq2dv 4107	. . 3 |- ( ph -> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) )
11	10	mpteq2dv 4107	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
12		subrgmvr.v	. . 3 |- V = ( I mVar R )
13		eqid 2283	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
14		subrgmvr.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
15		subrgrcl 15550	. . . 4 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
16	1, 15	syl 15	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 16165	. 2 |- ( ph -> V = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
18		eqid 2283	. . 3 |- ( I mVar H ) = ( I mVar H )
19		eqid 2283	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
20		eqid 2283	. . 3 |- ( 1r ` H ) = ( 1r ` H )
21		ovex 5883	. . . . 5 |- ( R ↾s T ) e. _V
22	2, 21	eqeltri 2353	. . . 4 |- H e. _V
23	22	a1i 10	. . 3 |- ( ph -> H e. _V )
24	18, 13, 19, 20, 14, 23	mvrfval 16165	. 2 |- ( ph -> ( I mVar H ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
25	11, 17, 24	3eqtr4d 2325	1 |- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   ifcif 3565   e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ↾_s cress 13149   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339  SubRingcsubrg 15541   mVar cmvr 16088

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  16206  subrgvr1  16338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-mvr 16099