Theorem subrgmvr 16529

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	|- V = ( I mVar R )
subrgmvr.i	|- ( ph -> I e. W )
subrgmvr.r	|- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
subrgmvr.h	|- H = ( R ↾s T )

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	|- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables x y f z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 |- H = ( R ↾s T )
3		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	subrg1 15883	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
5	1, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
6		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
7	2, 6	subrg0 15880	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
9	5, 8	ifeq12d 3757	. . . 4 |- ( ph -> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) )
10	9	mpteq2dv 4299	. . 3 |- ( ph -> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) )
11	10	mpteq2dv 4299	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
12		subrgmvr.v	. . 3 |- V = ( I mVar R )
13		eqid 2438	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
14		subrgmvr.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
15		subrgrcl 15878	. . . 4 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
16	1, 15	syl 16	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 16489	. 2 |- ( ph -> V = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
18		eqid 2438	. . 3 |- ( I mVar H ) = ( I mVar H )
19		eqid 2438	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
20		eqid 2438	. . 3 |- ( 1r ` H ) = ( 1r ` H )
21		ovex 6109	. . . . 5 |- ( R ↾s T ) e. _V
22	2, 21	eqeltri 2508	. . . 4 |- H e. _V
23	22	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> H e. _V )
24	18, 13, 19, 20, 14, 23	mvrfval 16489	. 2 |- ( ph -> ( I mVar H ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
25	11, 17, 24	3eqtr4d 2480	1 |- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958   ifcif 3741   e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ^m cmap 7021   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ↾_s cress 13475   0gc0g 13728   Ringcrg 15665   1rcur 15667  SubRingcsubrg 15869   mVar cmvr 16412

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  16530  subrgvr1  16659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-mvr 16423