Theorem subrgmvr 16483

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	|- V = ( I mVar R )
subrgmvr.i	|- ( ph -> I e. W )
subrgmvr.r	|- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
subrgmvr.h	|- H = ( R ↾s T )

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	|- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables x y f z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. (SubRing ` R ) )
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 |- H = ( R ↾s T )
3		eqid 2408	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	subrg1 15837	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
5	1, 4	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` H ) )
6		eqid 2408	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
7	2, 6	subrg0 15834	. . . . . 6 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` H ) )
9	5, 8	ifeq12d 3719	. . . 4 |- ( ph -> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) )
10	9	mpteq2dv 4260	. . 3 |- ( ph -> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) )
11	10	mpteq2dv 4260	. 2 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
12		subrgmvr.v	. . 3 |- V = ( I mVar R )
13		eqid 2408	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
14		subrgmvr.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
15		subrgrcl 15832	. . . 4 |- ( T e. (SubRing ` R ) -> R e. Ring )
16	1, 15	syl 16	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 16443	. 2 |- ( ph -> V = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
18		eqid 2408	. . 3 |- ( I mVar H ) = ( I mVar H )
19		eqid 2408	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
20		eqid 2408	. . 3 |- ( 1r ` H ) = ( 1r ` H )
21		ovex 6069	. . . . 5 |- ( R ↾s T ) e. _V
22	2, 21	eqeltri 2478	. . . 4 |- H e. _V
23	22	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> H e. _V )
24	18, 13, 19, 20, 14, 23	mvrfval 16443	. 2 |- ( ph -> ( I mVar H ) = ( x e. I |-> ( y e. { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |-> if ( y = ( z e. I |-> if ( z = x , 1 , 0 ) ) , ( 1r ` H ) , ( 0g ` H ) ) ) ) )
25	11, 17, 24	3eqtr4d 2450	1 |- ( ph -> V = ( I mVar H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2674   _Vcvv 2920   ifcif 3703   e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   "cima 4844   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ^m cmap 6981   Fincfn 7072   0cc0 8950   1c1 8951   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ↾_s cress 13429   0gc0g 13682   Ringcrg 15619   1rcur 15621  SubRingcsubrg 15823   mVar cmvr 16366

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  16484  subrgvr1  16613

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-subg 14900  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-subrg 15825  df-mvr 16377