MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvrf Unicode version

Theorem subrgmvrf 16222
Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgmvrf.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgmvrf.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
subrgmvrf  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem subrgmvrf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 subrgmvr.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 subrgmvr.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 subrgmvr.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
6 subrgrcl 15566 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
81, 2, 3, 4, 7mvrf 16185 . . 3  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
9 ffn 5405 . . 3  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  ->  V  Fn  I )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
11 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
122, 4, 5, 11subrgmvr 16221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
1312fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V `  x
)  =  ( ( I mVar  H ) `  x ) )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  =  ( ( I mVar 
H ) `  x
) )
15 subrgmvrf.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPoly  H )
16 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
17 subrgmvrf.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
184adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1911subrgrng 15564 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
205, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  H  e.  Ring )
22 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
2315, 16, 17, 18, 21, 22mvrcl 16209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I mVar  H ) `
 x )  e.  B )
2414, 23eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  B )
2524ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  B )
26 ffnfv 5701 . 2  |-  ( V : I --> B  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  B
) )
2710, 25, 26sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   Ringcrg 15353  SubRingcsubrg 15557   mPwSer cmps 16103   mVar cmvr 16104   mPoly cmpl 16105
This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  16355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116
  Copyright terms: Public domain W3C validator