MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvrf Unicode version

Theorem subrgmvrf 16452
Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgmvrf.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgmvrf.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
subrgmvrf  |-  ( ph  ->  V : I --> B )

Proof of Theorem subrgmvrf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 subrgmvr.v . . . 4  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
4 subrgmvr.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 subrgmvr.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
6 subrgrcl 15800 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
81, 2, 3, 4, 7mvrf 16415 . . 3  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
9 ffn 5531 . . 3  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  ->  V  Fn  I )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
11 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
122, 4, 5, 11subrgmvr 16451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
1312fveq1d 5670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V `  x
)  =  ( ( I mVar  H ) `  x ) )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  =  ( ( I mVar 
H ) `  x
) )
15 subrgmvrf.u . . . . 5  |-  U  =  ( I mPoly  H )
16 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
17 subrgmvrf.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
184adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1911subrgrng 15798 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
205, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  H  e.  Ring )
22 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
2315, 16, 17, 18, 21, 22mvrcl 16439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I mVar  H ) `
 x )  e.  B )
2414, 23eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  B )
2524ralrimiva 2732 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  B )
26 ffnfv 5833 . 2  |-  ( V : I --> B  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  B
) )
2710, 25, 26sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   Ringcrg 15587  SubRingcsubrg 15791   mPwSer cmps 16333   mVar cmvr 16334   mPoly cmpl 16335
This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  16582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-subg 14868  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-psr 16344  df-mvr 16345  df-mpl 16346
  Copyright terms: Public domain W3C validator