MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgply1 Structured version   Unicode version

Theorem subrgply1 16632
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s  |-  S  =  (Poly1 `  R )
subrgply1.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgply1.u  |-  U  =  (Poly1 `  H )
subrgply1.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
Assertion
Ref Expression
subrgply1  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  B  e.  (SubRing `  S ) )

Proof of Theorem subrgply1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 6734 . . 3  |-  1o  e.  On
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 subrgply1.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  H )  =  ( 1o mPoly  H )
5 subrgply1.u . . . . 5  |-  U  =  (Poly1 `  H )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  H
)  =  (PwSer1 `  H
)
7 subrgply1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  U
)
85, 6, 7ply1bas 16598 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  H ) )
92, 3, 4, 8subrgmpl 16528 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  T  e.  (SubRing `  R
) )  ->  B  e.  (SubRing `  ( 1o mPoly  R ) ) )
101, 9mpan 653 . 2  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  B  e.  (SubRing `  ( 1o mPoly  R
) ) )
11 eqidd 2439 . . 3  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
)
12 subrgply1.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  R )
13 eqid 2438 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1512, 13, 14ply1bas 16598 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
17 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
1812, 2, 17ply1plusg 16624 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly  R ) ) )
2019proplem3 13921 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  =  ( x ( +g  `  ( 1o mPoly  R )
) y ) )
21 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
2212, 2, 21ply1mulr 16626 . . . . 5  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) )
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
2423proplem3 13921 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
) )  ->  (
x ( .r `  S ) y )  =  ( x ( .r `  ( 1o mPoly  R ) ) y ) )
2511, 16, 20, 24subrgpropd 15907 . 2  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  (SubRing `  S
)  =  (SubRing `  ( 1o mPoly  R ) ) )
2610, 25eleqtrrd 2515 1  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  B  e.  (SubRing `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   Oncon0 4584   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535  SubRingcsubrg 15869   mPoly cmpl 16413  PwSer1cps1 16574  Poly1cpl1 16576
This theorem is referenced by:  plypf1  20136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-ply1 16583
  Copyright terms: Public domain W3C validator