Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Unicode version

Theorem subrgpsr 16482
 Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s mPwSer
subrgpsr.h s
subrgpsr.u mPwSer
subrgpsr.b
Assertion
Ref Expression
subrgpsr SubRing SubRing

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . . 4 mPwSer
2 simpl 444 . . . 4 SubRing
3 subrgrcl 15873 . . . . 5 SubRing
43adantl 453 . . . 4 SubRing
51, 2, 4psrrng 16474 . . 3 SubRing
6 subrgpsr.u . . . . 5 mPwSer
7 subrgpsr.h . . . . . . 7 s
87subrgrng 15871 . . . . . 6 SubRing
98adantl 453 . . . . 5 SubRing
106, 2, 9psrrng 16474 . . . 4 SubRing
11 subrgpsr.b . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5 SubRing
13 eqid 2436 . . . . . 6 s s
14 simpr 448 . . . . . 6 SubRing SubRing
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 16478 . . . . 5 SubRing s
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 16479 . . . . 5 SubRing s
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 16480 . . . . 5 SubRing s
1812, 15, 16, 17rngpropd 15695 . . . 4 SubRing s
1910, 18mpbid 202 . . 3 SubRing s
205, 19jca 519 . 2 SubRing s
21 eqid 2436 . . . . 5
2213, 21ressbasss 13521 . . . 4 s
2315, 22syl6eqss 3398 . . 3 SubRing
24 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
2524subrg1cl 15876 . . . . . . . . . . 11 SubRing
26 subrgsubg 15874 . . . . . . . . . . . 12 SubRing SubGrp
27 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
2827subg0cl 14952 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubRing
30 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11
3125, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 SubRing
3231adantl 453 . . . . . . . . 9 SubRing
337subrgbas 15877 . . . . . . . . . 10 SubRing
3433adantl 453 . . . . . . . . 9 SubRing
3532, 34eleqtrd 2512 . . . . . . . 8 SubRing
3635adantr 452 . . . . . . 7 SubRing
37 eqid 2436 . . . . . . 7
3836, 37fmptd 5893 . . . . . 6 SubRing
39 eqid 2436 . . . . . . . 8
40 eqid 2436 . . . . . . . 8
411, 2, 4, 39, 27, 24, 40psr1 16475 . . . . . . 7 SubRing
4241feq1d 5580 . . . . . 6 SubRing
4338, 42mpbird 224 . . . . 5 SubRing
44 fvex 5742 . . . . . 6
45 ovex 6106 . . . . . . 7
4645rabex 4354 . . . . . 6
4744, 46elmap 7042 . . . . 5
4843, 47sylibr 204 . . . 4 SubRing
49 eqid 2436 . . . . 5
506, 49, 39, 11, 2psrbas 16443 . . . 4 SubRing
5148, 50eleqtrrd 2513 . . 3 SubRing
5223, 51jca 519 . 2 SubRing
5321, 40issubrg 15868 . 2 SubRing s
5420, 52, 53sylanbrc 646 1 SubRing SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709   wss 3320  cif 3739  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cfn 7109  cc0 8990  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469   ↾s cress 13470  c0g 13723  SubGrpcsubg 14938  crg 15660  cur 15662  SubRingcsubrg 15864   mPwSer cmps 16406 This theorem is referenced by:  ressmplbas2  16518  subrgmpl  16523 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-psr 16417
 Copyright terms: Public domain W3C validator