MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgrng Structured version   Unicode version

Theorem subrgrng 15863
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgrng.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgrng  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgrng
StepHypRef Expression
1 subrgrng.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3issubrg 15860 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
54simplbi 447 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
65simprd 450 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
71, 6syl5eqel 2519 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   Ringcrg 15652   1rcur 15654  SubRingcsubrg 15856
This theorem is referenced by:  subrgcrng  15864  subrgsubg  15866  subrg1  15870  subrgmcl  15872  subrgsubm  15873  subrguss  15875  subrginv  15876  subrgunit  15878  subrgugrp  15879  issubdrg  15885  subsubrg  15886  resrhm  15889  abvres  15919  sralmod  16250  subrgnzr  16330  issubassa  16375  subrgpsr  16474  mplrng  16507  subrgmvrf  16517  subrgascl  16550  subrgasclcl  16551  ply1rng  16634  gzrngunitlem  16755  gzrngunit  16756  zlpirlem1  16760  zlpirlem3  16762  zlpir  16763  prmirredlem  16765  prmirred  16767  mulgghm2  16778  mulgrhm  16779  zlmlmod  16796  znlidl  16806  znzrh2  16818  zndvds  16822  evlssca  19935  evlsvar  19936  mpfconst  19951  mpfproj  19952  mpfsubrg  19953  reefgim  20358  amgmlem  20820  lgseisenlem4  21128  mzpmfp  26795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-subrg 15858
  Copyright terms: Public domain W3C validator