MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgrng Unicode version

Theorem subrgrng 15791
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgrng.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgrng  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgrng
StepHypRef Expression
1 subrgrng.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3issubrg 15788 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
54simplbi 447 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
65simprd 450 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
71, 6syl5eqel 2464 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   ↾s cress 13390   Ringcrg 15580   1rcur 15582  SubRingcsubrg 15784
This theorem is referenced by:  subrgcrng  15792  subrgsubg  15794  subrg1  15798  subrgmcl  15800  subrgsubm  15801  subrguss  15803  subrginv  15804  subrgunit  15806  subrgugrp  15807  issubdrg  15813  subsubrg  15814  resrhm  15817  abvres  15847  sralmod  16178  subrgnzr  16258  issubassa  16303  subrgpsr  16402  mplrng  16435  subrgmvrf  16445  subrgascl  16478  subrgasclcl  16479  ply1rng  16562  gzrngunitlem  16679  gzrngunit  16680  zlpirlem1  16684  zlpirlem3  16686  zlpir  16687  prmirredlem  16689  prmirred  16691  mulgghm2  16702  mulgrhm  16703  zlmlmod  16720  znlidl  16730  znzrh2  16742  zndvds  16746  evlssca  19803  evlsvar  19804  mpfconst  19819  mpfproj  19820  mpfsubrg  19821  reefgim  20226  amgmlem  20688  lgseisenlem4  20996  mzpmfp  26488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-ov 6016  df-subrg 15786
  Copyright terms: Public domain W3C validator