MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgrng Unicode version

Theorem subrgrng 15548
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgrng.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgrng  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgrng
StepHypRef Expression
1 subrgrng.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3issubrg 15545 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
54simplbi 446 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
65simprd 449 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
71, 6syl5eqel 2367 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Ringcrg 15337   1rcur 15339  SubRingcsubrg 15541
This theorem is referenced by:  subrgcrng  15549  subrgsubg  15551  subrg1  15555  subrgmcl  15557  subrgsubm  15558  subrguss  15560  subrginv  15561  subrgunit  15563  subrgugrp  15564  issubdrg  15570  subsubrg  15571  resrhm  15574  abvres  15604  sralmod  15939  subrgnzr  16019  issubassa  16064  subrgpsr  16163  mplrng  16196  subrgmvrf  16206  subrgascl  16239  subrgasclcl  16240  ply1rng  16326  gzrngunitlem  16436  gzrngunit  16437  zlpirlem1  16441  zlpirlem3  16443  zlpir  16444  prmirredlem  16446  prmirred  16448  mulgghm2  16459  mulgrhm  16460  zlmlmod  16477  znlidl  16487  znzrh2  16499  zndvds  16503  evlssca  19406  evlsvar  19407  mpfconst  19422  mpfproj  19423  mpfsubrg  19424  reefgim  19826  amgmlem  20284  lgseisenlem4  20591  mzpmfp  26825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subrg 15543
  Copyright terms: Public domain W3C validator