MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Unicode version

Theorem subrgss 15789
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2380 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 15788 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 451 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 446 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   ↾s cress 13390   Ringcrg 15580   1rcur 15582  SubRingcsubrg 15784
This theorem is referenced by:  subrgsubg  15794  subrg1  15798  subrgsubm  15801  subrgdvds  15802  subrguss  15803  subrginv  15804  subrgdv  15805  subrgmre  15812  issubdrg  15813  subsubrg  15814  abvres  15847  sralmod  16178  issubassa  16303  sraassa  16304  aspid  16309  issubassa2  16323  resspsrbas  16398  resspsradd  16399  resspsrmul  16400  resspsrvsca  16401  mplassa  16437  ressmplbas2  16438  subrgascl  16478  subrgasclcl  16479  mplind  16482  ply1assa  16517  cnsubrg  16675  sranlm  18584  clmsscn  18968  cphreccllem  19005  cphdivcl  19009  cphabscl  19012  cphsqrcl2  19013  cphsqrcl3  19014  cphipcl  19018  resscdrg  19172  srabn  19174  evlsval2  19801  evlssca  19803  mpfconst  19819  mpff  19822  mpfaddcl  19823  mpfmulcl  19824  mpfind  19825  pf1f  19830  plypf1  19991  dvply2g  20062  taylply2  20144  cnsrexpcl  27032  fsumcnsrcl  27033  cnsrplycl  27034  rgspnid  27039  rngunsnply  27040  sdrgacs  27171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-ov 6016  df-subrg 15786
  Copyright terms: Public domain W3C validator