MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Unicode version

Theorem subrgss 15874
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 15873 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 452 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 447 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   Ringcrg 15665   1rcur 15667  SubRingcsubrg 15869
This theorem is referenced by:  subrgsubg  15879  subrg1  15883  subrgsubm  15886  subrgdvds  15887  subrguss  15888  subrginv  15889  subrgdv  15890  subrgmre  15897  issubdrg  15898  subsubrg  15899  abvres  15932  sralmod  16263  issubassa  16388  sraassa  16389  aspid  16394  issubassa2  16408  resspsrbas  16483  resspsradd  16484  resspsrmul  16485  resspsrvsca  16486  mplassa  16522  ressmplbas2  16523  subrgascl  16563  subrgasclcl  16564  mplind  16567  ply1assa  16602  cnsubrg  16764  sranlm  18725  clmsscn  19109  cphreccllem  19146  cphdivcl  19150  cphabscl  19153  cphsqrcl2  19154  cphsqrcl3  19155  cphipcl  19159  resscdrg  19317  srabn  19319  evlsval2  19946  evlssca  19948  mpfconst  19964  mpff  19967  mpfaddcl  19968  mpfmulcl  19969  mpfind  19970  pf1f  19975  plypf1  20136  dvply2g  20207  taylply2  20289  cnsrexpcl  27361  fsumcnsrcl  27362  cnsrplycl  27363  rgspnid  27368  rngunsnply  27369  sdrgacs  27500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-subrg 15871
  Copyright terms: Public domain W3C validator