MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Unicode version

Theorem subrgss 15562
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 15561 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 445 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   Ringcrg 15353   1rcur 15355  SubRingcsubrg 15557
This theorem is referenced by:  subrgsubg  15567  subrg1  15571  subrgsubm  15574  subrgdvds  15575  subrguss  15576  subrginv  15577  subrgdv  15578  subrgmre  15585  issubdrg  15586  subsubrg  15587  abvres  15620  sralmod  15955  issubassa  16080  sraassa  16081  aspid  16086  issubassa2  16100  resspsrbas  16175  resspsradd  16176  resspsrmul  16177  resspsrvsca  16178  mplassa  16214  ressmplbas2  16215  subrgascl  16255  subrgasclcl  16256  mplind  16259  ply1assa  16294  cnsubrg  16448  sranlm  18211  clmsscn  18593  cphreccllem  18630  cphdivcl  18634  cphabscl  18637  cphsqrcl2  18638  cphsqrcl3  18639  cphipcl  18643  resscdrg  18791  srabn  18793  evlsval2  19420  evlssca  19422  mpfconst  19438  mpff  19441  mpfaddcl  19442  mpfmulcl  19443  mpfind  19444  pf1f  19449  plypf1  19610  dvply2g  19681  taylply2  19763  cnsrexpcl  27473  fsumcnsrcl  27474  cnsrplycl  27475  rgspnid  27480  rngunsnply  27481  sdrgacs  27612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-subrg 15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator