MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Unicode version

Theorem subrgss 15861
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 15860 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 451 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 446 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   Ringcrg 15652   1rcur 15654  SubRingcsubrg 15856
This theorem is referenced by:  subrgsubg  15866  subrg1  15870  subrgsubm  15873  subrgdvds  15874  subrguss  15875  subrginv  15876  subrgdv  15877  subrgmre  15884  issubdrg  15885  subsubrg  15886  abvres  15919  sralmod  16250  issubassa  16375  sraassa  16376  aspid  16381  issubassa2  16395  resspsrbas  16470  resspsradd  16471  resspsrmul  16472  resspsrvsca  16473  mplassa  16509  ressmplbas2  16510  subrgascl  16550  subrgasclcl  16551  mplind  16554  ply1assa  16589  cnsubrg  16751  sranlm  18712  clmsscn  19096  cphreccllem  19133  cphdivcl  19137  cphabscl  19140  cphsqrcl2  19141  cphsqrcl3  19142  cphipcl  19146  resscdrg  19304  srabn  19306  evlsval2  19933  evlssca  19935  mpfconst  19951  mpff  19954  mpfaddcl  19955  mpfmulcl  19956  mpfind  19957  pf1f  19962  plypf1  20123  dvply2g  20194  taylply2  20276  cnsrexpcl  27338  fsumcnsrcl  27339  cnsrplycl  27340  rgspnid  27345  rngunsnply  27346  sdrgacs  27477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-subrg 15858
  Copyright terms: Public domain W3C validator