MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Unicode version

Theorem subrgss 15546
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
subrgss  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2issubrg 15545 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  B  /\  ( 1r `  R )  e.  A
) ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  C_  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  A ) )
54simpld 445 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   Ringcrg 15337   1rcur 15339  SubRingcsubrg 15541
This theorem is referenced by:  subrgsubg  15551  subrg1  15555  subrgsubm  15558  subrgdvds  15559  subrguss  15560  subrginv  15561  subrgdv  15562  subrgmre  15569  issubdrg  15570  subsubrg  15571  abvres  15604  sralmod  15939  issubassa  16064  sraassa  16065  aspid  16070  issubassa2  16084  resspsrbas  16159  resspsradd  16160  resspsrmul  16161  resspsrvsca  16162  mplassa  16198  ressmplbas2  16199  subrgascl  16239  subrgasclcl  16240  mplind  16243  ply1assa  16278  cnsubrg  16432  sranlm  18195  clmsscn  18577  cphreccllem  18614  cphdivcl  18618  cphabscl  18621  cphsqrcl2  18622  cphsqrcl3  18623  cphipcl  18627  resscdrg  18775  srabn  18777  evlsval2  19404  evlssca  19406  mpfconst  19422  mpff  19425  mpfaddcl  19426  mpfmulcl  19427  mpfind  19428  pf1f  19433  plypf1  19594  dvply2g  19665  taylply2  19747  cnsrexpcl  27370  fsumcnsrcl  27371  cnsrplycl  27372  rgspnid  27377  rngunsnply  27378  sdrgacs  27509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-subrg 15543
  Copyright terms: Public domain W3C validator