MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubm Structured version   Unicode version

Theorem subrgsubm 15881
Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgsubm.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
subrgsubm  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )

Proof of Theorem subrgsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
21subrgss 15869 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
43subrg1cl 15876 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  A
)
5 subrgrcl 15873 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Rs  A )  =  ( Rs  A )
7 subrgsubm.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
86, 7mgpress 15659 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  (SubRing `  R )
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
95, 8mpancom 651 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  =  (mulGrp `  ( Rs  A ) ) )
106subrgrng 15871 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  =  (mulGrp `  ( Rs  A
) )
1211rngmgp 15670 . . . 4  |-  ( ( Rs  A )  e.  Ring  -> 
(mulGrp `  ( Rs  A
) )  e.  Mnd )
1310, 12syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  (mulGrp `  ( Rs  A ) )  e. 
Mnd )
149, 13eqeltrd 2510 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Ms  A
)  e.  Mnd )
157rngmgp 15670 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
167, 1mgpbas 15654 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
177, 3rngidval 15666 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
18 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Ms  A )  =  ( Ms  A )
1916, 17, 18issubm2 14749 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd ) ) )
205, 15, 193syl 19 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  M )  <->  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  A  /\  ( Ms  A )  e.  Mnd )
) )
212, 4, 14, 20mpbir3and 1137 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  e.  (SubMnd `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   Mndcmnd 14684  SubMndcsubmnd 14737  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   1rcur 15662  SubRingcsubrg 15864
This theorem is referenced by:  resrhm  15897  rhmima  15899  mplbas2  16531  plypf1  20131  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  lgsqrlem1  21125  lgseisenlem4  21136  dchrisum0flblem1  21202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866
  Copyright terms: Public domain W3C validator