Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Unicode version

Theorem subrgugrp 15889
 Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 s
subrgugrp.2 Unit
subrgugrp.3 Unit
subrgugrp.4 mulGrps
Assertion
Ref Expression
subrgugrp SubRing SubGrp

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 s
2 subrgugrp.2 . . 3 Unit
3 subrgugrp.3 . . 3 Unit
41, 2, 3subrguss 15885 . 2 SubRing
51subrgrng 15873 . . 3 SubRing
6 eqid 2438 . . . 4
73, 61unit 15765 . . 3
8 ne0i 3636 . . 3
95, 7, 83syl 19 . 2 SubRing
10 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
111, 10ressmulr 13584 . . . . . . . . 9 SubRing
12113ad2ant1 979 . . . . . . . 8 SubRing
1312oveqd 6100 . . . . . . 7 SubRing
14 eqid 2438 . . . . . . . . 9
153, 14unitmulcl 15771 . . . . . . . 8
165, 15syl3an1 1218 . . . . . . 7 SubRing
1713, 16eqeltrd 2512 . . . . . 6 SubRing
18173expa 1154 . . . . 5 SubRing
1918ralrimiva 2791 . . . 4 SubRing
20 eqid 2438 . . . . . 6
21 eqid 2438 . . . . . 6
221, 20, 3, 21subrginv 15886 . . . . 5 SubRing
233, 21unitinvcl 15781 . . . . . 6
245, 23sylan 459 . . . . 5 SubRing
2522, 24eqeltrd 2512 . . . 4 SubRing
2619, 25jca 520 . . 3 SubRing
2726ralrimiva 2791 . 2 SubRing
28 subrgrcl 15875 . . 3 SubRing
29 subrgugrp.4 . . . 4 mulGrps
302, 29unitgrp 15774 . . 3
312, 29unitgrpbas 15773 . . . 4
32 fvex 5744 . . . . . 6 Unit
332, 32eqeltri 2508 . . . . 5
34 eqid 2438 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
3534, 10mgpplusg 15654 . . . . . 6 mulGrp
3629, 35ressplusg 13573 . . . . 5
3733, 36ax-mp 8 . . . 4
382, 29, 20invrfval 15780 . . . 4
3931, 37, 38issubg2 14961 . . 3 SubGrp
4028, 30, 393syl 19 . 2 SubRing SubGrp
414, 9, 27, 40mpbir3and 1138 1 SubRing SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾s cress 13472   cplusg 13531  cmulr 13532  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  cur 15664  Unitcui 15746  cinvr 15778  SubRingcsubrg 15866 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-subrg 15868
 Copyright terms: Public domain W3C validator