Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubc Structured version   Unicode version

Theorem subsubc 14050
 Description: A subcategory of a subcategory is a subcategory. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubc.d cat
Assertion
Ref Expression
subsubc Subcat Subcat Subcat cat

Proof of Theorem subsubc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . . 6 Subcat Subcat
2 eqid 2436 . . . . . 6 f f
31, 2subcssc 14037 . . . . 5 Subcat cat f
4 subsubc.d . . . . . . 7 cat
5 eqid 2436 . . . . . . 7
6 subcrcl 14016 . . . . . . 7 Subcat
7 id 20 . . . . . . . 8 Subcat Subcat
8 eqidd 2437 . . . . . . . 8 Subcat
97, 8subcfn 14038 . . . . . . 7 Subcat
107, 9, 5subcss1 14039 . . . . . . 7 Subcat
114, 5, 6, 9, 10reschomf 14031 . . . . . 6 Subcat f
1211breq2d 4224 . . . . 5 Subcat cat cat f
133, 12syl5ibr 213 . . . 4 Subcat Subcat cat
1413pm4.71rd 617 . . 3 Subcat Subcat cat Subcat
15 simpr 448 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
16 simpl 444 . . . . . . . . 9 Subcat cat Subcat
17 eqid 2436 . . . . . . . . 9 f f
1816, 17subcssc 14037 . . . . . . . 8 Subcat cat cat f
19 ssctr 14025 . . . . . . . 8 cat cat f cat f
2015, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . 7 Subcat cat cat f
2112biimpa 471 . . . . . . 7 Subcat cat cat f
2220, 212thd 232 . . . . . 6 Subcat cat cat f cat f
2316adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat Subcat
249adantr 452 . . . . . . . . . 10 Subcat cat
2524adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat
26 eqid 2436 . . . . . . . . 9
27 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12 Subcat cat
2815, 27sscfn1 14017 . . . . . . . . . . 11 Subcat cat
2928, 24, 15ssc1 14021 . . . . . . . . . 10 Subcat cat
3029sselda 3348 . . . . . . . . 9 Subcat cat
314, 23, 25, 26, 30subcid 14044 . . . . . . . 8 Subcat cat
3231eleq1d 2502 . . . . . . 7 Subcat cat
3332ralbidva 2721 . . . . . 6 Subcat cat
344oveq1i 6091 . . . . . . . 8 cat cat cat
356adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat
36 dmexg 5130 . . . . . . . . . . 11 Subcat
37 dmexg 5130 . . . . . . . . . . 11
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10 Subcat
3938adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat
4035, 24, 28, 39, 29rescabs 14033 . . . . . . . 8 Subcat cat cat cat cat
4134, 40syl5req 2481 . . . . . . 7 Subcat cat cat cat
4241eleq1d 2502 . . . . . 6 Subcat cat cat cat
4322, 33, 423anbi123d 1254 . . . . 5 Subcat cat cat f cat cat f cat
44 eqid 2436 . . . . . 6 cat cat
4517, 26, 44, 35, 28issubc3 14046 . . . . 5 Subcat cat Subcat cat f cat
46 eqid 2436 . . . . . 6
47 eqid 2436 . . . . . 6 cat cat
484, 7subccat 14045 . . . . . . 7 Subcat
4948adantr 452 . . . . . 6 Subcat cat
502, 46, 47, 49, 28issubc3 14046 . . . . 5 Subcat cat Subcat cat f cat
5143, 45, 503bitr4rd 278 . . . 4 Subcat cat Subcat Subcat
5251pm5.32da 623 . . 3 Subcat cat Subcat cat Subcat
5314, 52bitrd 245 . 2 Subcat Subcat cat Subcat
54 ancom 438 . 2 cat Subcat Subcat cat
5553, 54syl6bb 253 1 Subcat Subcat Subcat cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   class class class wbr 4212   cxp 4876   cdm 4878   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  ccat 13889  ccid 13890   f chomf 13891   cat cssc 14007   cat cresc 14008  Subcatcsubc 14009 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-homf 13895  df-ssc 14010  df-resc 14011  df-subc 14012
 Copyright terms: Public domain W3C validator