MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubm Unicode version

Theorem subsubm 14434
Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subsubm  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )

Proof of Theorem subsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
21submss 14427 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
32adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
4 subsubm.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
54submbas 14432 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
73, 6sseqtr4d 3215 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  S
)
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
98submss 14427 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
117, 10sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  G ) )
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
134, 12subm0 14433 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
1615subm0cl 14429 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1716adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1814, 17eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
194oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( ( Gs  S )s  A )
20 ressabs 13206 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  (
( Gs  S )s  A )  =  ( Gs  A ) )
2119, 20syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
227, 21syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  =  ( Gs  A ) )
23 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( Hs  A )
2423submmnd 14431 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2524adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2622, 25eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
27 submrcl 14424 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  G  e.  Mnd )
29 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Gs  A )  =  ( Gs  A )
308, 12, 29issubm2 14426 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd ) ) )
3128, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd )
) )
3211, 18, 26, 31mpbir3and 1135 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  e.  (SubMnd `  G ) )
3332, 7jca 518 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) )
34 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  S )
355adantr 451 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
3634, 35sseqtrd 3214 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  ( Base `  H
) )
3713adantr 451 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
3812subm0cl 14429 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
3938ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  A )
4037, 39eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  H )  e.  A )
4121adantrl 696 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
4229submmnd 14431 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
4342ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Gs  A )  e.  Mnd )
4441, 43eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  e.  Mnd )
454submmnd 14431 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
4645adantr 451 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  H  e.  Mnd )
471, 15, 23issubm2 14426 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4846, 47syl 15 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4936, 40, 44, 48mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  e.  (SubMnd `  H )
)
5033, 49impbida 805 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  SubMndcsubmnd 14414
This theorem is referenced by:  amgmlem  20284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416
  Copyright terms: Public domain W3C validator