MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubm Structured version   Unicode version

Theorem subsubm 14757
Description: A submonoid of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subsubm  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )

Proof of Theorem subsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
21submss 14750 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  H ) )
4 subsubm.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
54submbas 14755 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
73, 6sseqtr4d 3385 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  S
)
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
98submss 14750 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
117, 10sstrd 3358 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  C_  ( Base `  G ) )
12 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
134, 12subm0 14756 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H ) )
15 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
1615subm0cl 14752 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1716adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  H )  e.  A
)
1814, 17eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
194oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( ( Gs  S )s  A )
20 ressabs 13527 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  (
( Gs  S )s  A )  =  ( Gs  A ) )
2119, 20syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
227, 21syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  =  ( Gs  A ) )
23 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Hs  A )  =  ( Hs  A )
2423submmnd 14754 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2524adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Hs  A
)  e.  Mnd )
2622, 25eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
27 submrcl 14747 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  G  e.  Mnd )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  G  e.  Mnd )
29 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Gs  A )  =  ( Gs  A )
308, 12, 29issubm2 14749 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd ) ) )
3128, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( A  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  A  /\  ( Gs  A )  e.  Mnd )
) )
3211, 18, 26, 31mpbir3and 1137 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  A  e.  (SubMnd `  G ) )
3332, 7jca 519 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  e.  (SubMnd `  H )
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) )
34 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  S )
355adantr 452 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
3634, 35sseqtrd 3384 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  C_  ( Base `  H
) )
3713adantr 452 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  H
) )
3812subm0cl 14752 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  A
)
3938ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  A )
4037, 39eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( 0g `  H )  e.  A )
4121adantrl 697 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  =  ( Gs  A ) )
4229submmnd 14754 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( Gs  A
)  e.  Mnd )
4342ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Gs  A )  e.  Mnd )
4441, 43eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( Hs  A )  e.  Mnd )
454submmnd 14754 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
4645adantr 452 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  H  e.  Mnd )
471, 15, 23issubm2 14749 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4846, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H
)  <->  ( A  C_  ( Base `  H )  /\  ( 0g `  H
)  e.  A  /\  ( Hs  A )  e.  Mnd ) ) )
4936, 40, 44, 48mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  ( A  e.  (SubMnd `  G
)  /\  A  C_  S
) )  ->  A  e.  (SubMnd `  H )
)
5033, 49impbida 806 1  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( A  e.  (SubMnd `  H )  <->  ( A  e.  (SubMnd `  G )  /\  A  C_  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   Mndcmnd 14684  SubMndcsubmnd 14737
This theorem is referenced by:  amgmlem  20828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739
  Copyright terms: Public domain W3C validator