MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubrg Structured version   Unicode version

Theorem subsubrg 15896
Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subsubrg  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( B  e.  (SubRing `  S )  <->  ( B  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
) ) )

Proof of Theorem subsubrg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 15875 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
21adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
3 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
43subrgss 15871 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
54adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
6 subsubrg.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( Rs  A )
76subrgbas 15879 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  =  ( Base `  S )
)
87adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  A  =  (
Base `  S )
)
95, 8sseqtr4d 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  A
)
106oveq1i 6093 . . . . . . . 8  |-  ( Ss  B )  =  ( ( Rs  A )s  B )
11 ressabs 13529 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
)  ->  ( ( Rs  A )s  B )  =  ( Rs  B ) )
1210, 11syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
)  ->  ( Ss  B
)  =  ( Rs  B ) )
139, 12syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Ss  B )  =  ( Rs  B ) )
14 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
1514subrgrng 15873 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  B
)  e.  Ring )
1615adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Ss  B )  e.  Ring )
1713, 16eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( Rs  B )  e.  Ring )
182, 17jca 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( R  e. 
Ring  /\  ( Rs  B )  e.  Ring ) )
19 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2019subrgss 15871 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
2120adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  A  C_  ( Base `  R ) )
229, 21sstrd 3360 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  C_  ( Base `  R ) )
23 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
246, 23subrg1 15880 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
2524adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
26 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
2726subrg1cl 15878 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
2827adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
2925, 28eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
3022, 29jca 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( B  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  B ) )
3119, 23issubrg 15870 . . . 4  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  B ) ) )
3218, 30, 31sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  B  e.  (SubRing `  R ) )
3332, 9jca 520 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  e.  (SubRing `  S ) )  ->  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )
346subrgrng 15873 . . . . 5  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
3534adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  S  e.  Ring )
3612adantrl 698 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Ss  B
)  =  ( Rs  B ) )
37 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
3837subrgrng 15873 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  B
)  e.  Ring )
3938ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Rs  B
)  e.  Ring )
4036, 39eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( Ss  B
)  e.  Ring )
4135, 40jca 520 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( S  e.  Ring  /\  ( Ss  B
)  e.  Ring )
)
42 simprr 735 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  A
)
437adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  A  =  ( Base `  S )
)
4442, 43sseqtrd 3386 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  ( Base `  S ) )
4524adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  S ) )
4623subrg1cl 15878 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
4746ad2antrl 710 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B
)
4845, 47eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  B
)
4944, 48jca 520 . . 3  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  ( B  C_  ( Base `  S
)  /\  ( 1r `  S )  e.  B
) )
503, 26issubrg 15870 . . 3  |-  ( B  e.  (SubRing `  S
)  <->  ( ( S  e.  Ring  /\  ( Ss  B )  e.  Ring )  /\  ( B  C_  ( Base `  S )  /\  ( 1r `  S
)  e.  B ) ) )
5141, 49, 50sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( A  e.  (SubRing `  R
)  /\  ( B  e.  (SubRing `  R )  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  (SubRing `  S ) )
5233, 51impbida 807 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( B  e.  (SubRing `  S )  <->  ( B  e.  (SubRing `  R
)  /\  B  C_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   Ringcrg 15662   1rcur 15664  SubRingcsubrg 15866
This theorem is referenced by:  subsubrg2  15897  subrgmpl  16525  mplbas2  16533  mplind  16564  zrngunit  16767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868
  Copyright terms: Public domain W3C validator