MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucdom Structured version   Unicode version

Theorem sucdom 7333
Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sucdom  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem sucdom
StepHypRef Expression
1 sucdom2 7332 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  suc  A  ~<_  B )
2 php4 7323 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  ~<  suc  A )
3 sdomdomtr 7269 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  suc  A  /\  suc  A  ~<_  B )  ->  A  ~<  B )
43ex 425 . . 3  |-  ( A 
~<  suc  A  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )
52, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )
61, 5impbid2 197 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   suc csuc 4612   omcom 4874    ~<_ cdom 7136    ~< csdm 7137
This theorem is referenced by:  0sdom1dom  7335  1sdom  7340  isnzr2  16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141
  Copyright terms: Public domain W3C validator