MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucdomiOLD Unicode version

Theorem sucdomiOLD 7268
Description: Dominance of a set over a successor of a natural number implies strict dominance over the number. For the converse, see sucdom 7267. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sucdomiOLD  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  C )  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )

Proof of Theorem sucdomiOLD
StepHypRef Expression
1 php4 7257 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  ~<  suc  A )
2 sdomdomtr 7203 . . . 4  |-  ( ( A  ~<  suc  A  /\  suc  A  ~<_  B )  ->  A  ~<  B )
32ex 424 . . 3  |-  ( A 
~<  suc  A  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )
54adantr 452 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  C )  ->  ( suc  A  ~<_  B  ->  A  ~<  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   suc csuc 4547   omcom 4808    ~<_ cdom 7070    ~< csdm 7071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075
  Copyright terms: Public domain W3C validator