MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Unicode version

Theorem sucelon 4800
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 4797 . . 3  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
2 sucexb 4792 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2anbi12i 680 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  e.  _V )  <->  ( Ord  suc 
A  /\  suc  A  e. 
_V ) )
4 elon2 4595 . 2  |-  ( A  e.  On  <->  ( Ord  A  /\  A  e.  _V ) )
5 elon2 4595 . 2  |-  ( suc 
A  e.  On  <->  ( Ord  suc 
A  /\  suc  A  e. 
_V ) )
63, 4, 53bitr4i 270 1  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586
This theorem is referenced by:  onsucmin  4804  tfindsg2  4844  oaordi  6792  oalimcl  6806  omlimcl  6824  omeulem1  6828  oeordsuc  6840  infensuc  7288  cantnflem1b  7645  cantnflem1  7648  r1ordg  7707  alephnbtwn  7957  cfsuc  8142  alephsuc3  8460  alephreg  8462  nobndlem1  25652  nobndlem8  25659  nofulllem4  25665  nofulllem5  25666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590
  Copyright terms: Public domain W3C validator