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Theorem suctrALT2VD 28885
Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 28886. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suctrALT2VD  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)

Proof of Theorem suctrALT2VD
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4296 . . 3  |-  ( Tr 
suc  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )
2 sssucid 4650 . . . . . . . 8  |-  A  C_  suc  A
3 idn1 28602 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  A ).
4 idn2 28651 . . . . . . . . . 10  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A ) ).
5 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  y )
64, 5e2 28669 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  y ).
7 idn3 28653 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  y  e.  A ).
8 trel 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
98exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
103, 6, 7, 9e123 28811 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  A ).
11 ssel 3334 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  suc  A  ->  ( z  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
) )
122, 10, 11e03 28789 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1312in3 28647 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
14 idn3 28653 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  y  =  A ).
15 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  A ) )
1615biimpcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  (
y  =  A  -> 
z  e.  A ) )
176, 14, 16e23 28804 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  A ).
182, 17, 11e03 28789 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1918in3 28647 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  =  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
20 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  y  e.  suc  A )
214, 20e2 28669 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  y  e.  suc  A ).
22 elsuci 4639 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  suc  A  -> 
( y  e.  A  \/  y  =  A
) )
2321, 22e2 28669 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) ).
24 jao 499 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  =  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  =  A )  ->  z  e.  suc  A
) ) )
2513, 19, 23, 24e222 28674 . . . . 5  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  suc  A ).
2625in2 28643 . . . 4  |-  (. Tr  A 
->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
2726gen12 28656 . . 3  |-  (. Tr  A 
->.  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
28 bi2 190 . . 3  |-  ( ( Tr  suc  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )  ->  ( A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  suc  A )  ->  Tr  suc  A ) )
291, 27, 28e01 28729 . 2  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  suc  A ).
3029in1 28599 1  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   Tr wtr 4294   suc csuc 4575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-v 2950  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-sn 3812  df-uni 4008  df-tr 4295  df-suc 4579  df-vd1 28598  df-vd2 28607  df-vd3 28619
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