Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suctrALT2VD Unicode version

Theorem suctrALT2VD 28612
Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 28613. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suctrALT2VD  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)

Proof of Theorem suctrALT2VD
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4115 . . 3  |-  ( Tr 
suc  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )
2 sssucid 4469 . . . . . . . 8  |-  A  C_  suc  A
3 idn1 28342 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  A ).
4 idn2 28385 . . . . . . . . . 10  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A ) ).
5 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  y )
64, 5e2 28403 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  y ).
7 idn3 28387 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  y  e.  A ).
8 trel 4120 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
98exp3a 425 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
103, 6, 7, 9e123 28537 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  A ).
11 ssel 3174 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  suc  A  ->  ( z  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
) )
122, 10, 11e03 28515 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  e.  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1312in3 28381 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
14 idn3 28387 . . . . . . . . 9  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  y  =  A ).
15 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  A ) )
1615biimpcd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  (
y  =  A  -> 
z  e.  A ) )
176, 14, 16e23 28530 . . . . . . . 8  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  A ).
182, 17, 11e03 28515 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A ) ,. y  =  A  ->.  z  e.  suc  A ).
1918in3 28381 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  =  A  ->  z  e. 
suc  A ) ).
20 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  y  e.  suc  A )
214, 20e2 28403 . . . . . . 7  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  y  e.  suc  A ).
22 elsuci 4458 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  suc  A  -> 
( y  e.  A  \/  y  =  A
) )
2321, 22e2 28403 . . . . . 6  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) ).
24 jao 498 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  =  A  -> 
z  e.  suc  A
)  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  =  A )  ->  z  e.  suc  A
) ) )
2513, 19, 23, 24e222 28408 . . . . 5  |-  (. Tr  A ,. ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  ->.  z  e.  suc  A ).
2625in2 28377 . . . 4  |-  (. Tr  A 
->.  ( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
2726gen12 28390 . . 3  |-  (. Tr  A 
->.  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e. 
suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) ).
28 bi2 189 . . 3  |-  ( ( Tr  suc  A  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  -> 
z  e.  suc  A
) )  ->  ( A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  suc  A )  ->  z  e.  suc  A )  ->  Tr  suc  A ) )
291, 27, 28e01 28463 . 2  |-  (. Tr  A 
->.  Tr  suc  A ).
3029in1 28339 1  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   Tr wtr 4113   suc csuc 4394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3646  df-uni 3828  df-tr 4114  df-suc 4398  df-vd1 28338  df-vd2 28347  df-vd3 28359
  Copyright terms: Public domain W3C validator