Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucxpdom Unicode version

Theorem sucxpdom 7072
 Description: Cross product dominates successor for set with cardinality greater than 1. Proposition 10.38 of [TakeutiZaring] p. 93 (but generalized to arbitrary sets, not just ordinals). (Contributed by NM, 3-Sep-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sucxpdom

Proof of Theorem sucxpdom
StepHypRef Expression
1 df-suc 4398 . 2
2 relsdom 6870 . . . . . . . . 9
32brrelex2i 4730 . . . . . . . 8
4 1on 6486 . . . . . . . 8
5 xpsneng 6947 . . . . . . . 8
63, 4, 5sylancl 643 . . . . . . 7
7 ensym 6910 . . . . . . 7
86, 7syl 15 . . . . . 6
9 endom 6888 . . . . . 6
108, 9syl 15 . . . . 5
11 ensn1g 6926 . . . . . . . . 9
123, 11syl 15 . . . . . . . 8
13 ensdomtr 6997 . . . . . . . 8
1412, 13mpancom 650 . . . . . . 7
15 0ex 4150 . . . . . . . . 9
16 xpsneng 6947 . . . . . . . . 9
173, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . 8
18 ensym 6910 . . . . . . . 8
1917, 18syl 15 . . . . . . 7
20 sdomentr 6995 . . . . . . 7
2114, 19, 20syl2anc 642 . . . . . 6
22 sdomdom 6889 . . . . . 6
2321, 22syl 15 . . . . 5
24 1n0 6494 . . . . . 6
25 xpsndisj 5103 . . . . . 6
2624, 25mp1i 11 . . . . 5
27 undom 6950 . . . . 5
2810, 23, 26, 27syl21anc 1181 . . . 4
29 sdomentr 6995 . . . . . 6
308, 29mpdan 649 . . . . 5
31 sdomentr 6995 . . . . . 6
3219, 31mpdan 649 . . . . 5
33 unxpdom 7070 . . . . 5
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . 4
35 domtr 6914 . . . 4
3628, 34, 35syl2anc 642 . . 3
37 xpen 7024 . . . 4
386, 17, 37syl2anc 642 . . 3
39 domentr 6920 . . 3
4036, 38, 39syl2anc 642 . 2
411, 40syl5eqbr 4056 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  cvv 2788   cun 3150   cin 3151  c0 3455  csn 3640   class class class wbr 4023  con0 4392   csuc 4394   cxp 4687  c1o 6472   cen 6860   cdom 6861   csdm 6862 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
 Copyright terms: Public domain W3C validator