MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Unicode version

Theorem sum0 12505
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 10511 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10301 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 0ss 3648 . . . . 5  |-  (/)  C_  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  (/)  C_  NN )
6 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
76, 1syl6eleq 2525 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 c0ex 9075 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
98fvconst2 5939 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  0 )
11 noel 3624 . . . . . 6  |-  -.  k  e.  (/)
12 iffalse 3738 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  (/)  ->  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0 )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 )  =  0
1410, 13syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) `  k
)  =  if ( k  e.  (/) ,  A ,  0 ) )
1511pm2.21i 125 . . . . 5  |-  ( k  e.  (/)  ->  A  e.  CC )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  (/) )  ->  A  e.  CC )
171, 3, 5, 14, 16zsum 12502 . . 3  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) ) )
1817trud 1332 . 2  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  (  ~~>  `
 seq  1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) ) )
19 fclim 12337 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
20 ffun 5585 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  Fun  ~~>
22 serclim0 12361 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
232, 22ax-mp 8 . . 3  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
24 funbrfv 5757 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )  ~~>  0  ->  (  ~~>  ` 
seq  1 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } ) ) )  =  0 ) )
2521, 23, 24mp2 9 . 2  |-  (  ~~>  `  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )  =  0
2618, 25eqtri 2455 1  |-  sum_ k  e.  (/)  A  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   dom cdm 4870   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983   NNcn 9990   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478    seq cseq 11313    ~~> cli 12268   sum_csu 12469
This theorem is referenced by:  sumz  12506  fsumf1o  12507  fsumcllem  12516  fsumadd  12522  fsum2d  12545  fsumrev2  12555  fsummulc2  12557  fsumconst  12563  fsumabs  12570  fsumtscopo  12571  fsumparts  12575  fsumrelem  12576  fsumrlim  12580  fsumo1  12581  fsumiun  12590  isumsplit  12610  arisum  12629  arisum2  12630  bitsinv1  12944  bitsinvp1  12951  prmreclem4  13277  prmreclem5  13278  gsumfsum  16756  fsumcn  18890  ovolfiniun  19387  volfiniun  19431  itg10  19570  itgfsum  19708  dvmptfsum  19849  abelthlem6  20342  logfac  20485  log2ublem3  20778  harmonicbnd3  20836  cht1  20938  dchrisumlem1  21173  dchrisumlem3  21175  logdivbnd  21240  pntrsumbnd2  21251  pntrlog2bndlem4  21264  esumpcvgval  24458  bpoly0  26061  mettrifi  26417  rrncmslem  26495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470
  Copyright terms: Public domain W3C validator