Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Unicode version

Theorem sumdchr2 20562
 Description: Lemma for sumdchr 20564. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g DChr
sumdchr.d
sumdchr2.z ℤ/n
sumdchr2.1
sumdchr2.b
sumdchr2.n
sumdchr2.x
Assertion
Ref Expression
sumdchr2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2325 . 2
2 eqeq2 2325 . 2
3 fveq2 5563 . . . . . 6
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 DChr
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 ℤ/n
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9
74, 5, 6dchrmhm 20533 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 simpr 447 . . . . . . . 8
97, 8sseldi 3212 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
10 eqid 2316 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9
1210, 11rngidval 15392 . . . . . . . 8 mulGrp
13 eqid 2316 . . . . . . . . 9 mulGrpfld mulGrpfld
14 cnfld1 16455 . . . . . . . . 9 fld
1513, 14rngidval 15392 . . . . . . . 8 mulGrpfld
1612, 15mhm0 14472 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
179, 16syl 15 . . . . . 6
183, 17sylan9eqr 2370 . . . . 5
1918an32s 779 . . . 4
2019sumeq2dv 12223 . . 3
21 sumdchr2.n . . . . . . 7
224, 6dchrfi 20547 . . . . . . 7
2321, 22syl 15 . . . . . 6
24 ax-1cn 8840 . . . . . 6
25 fsumconst 12299 . . . . . 6
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . 5
27 hashcl 11397 . . . . . . . 8
2821, 22, 273syl 18 . . . . . . 7
2928nn0cnd 10067 . . . . . 6
3029mulid1d 8897 . . . . 5
3126, 30eqtrd 2348 . . . 4
3320, 32eqtrd 2348 . 2
34 df-ne 2481 . . 3
35 sumdchr2.b . . . . 5
3621adantr 451 . . . . 5
37 simpr 447 . . . . 5
38 sumdchr2.x . . . . . 6
3938adantr 451 . . . . 5
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 20559 . . . 4
41 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14
4241fveq1d 5565 . . . . . . . . . . . . 13
4342cbvsumv 12216 . . . . . . . . . . . 12
44 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
484, 5, 6, 44, 46, 47dchrmul 20540 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948fveq1d 5565 . . . . . . . . . . . . . 14
504, 5, 6, 35, 45dchrf 20534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
544, 5, 6, 35, 47dchrf 20534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ffn 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5835, 57eqeltri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
6039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 fnfvof 6132 . . . . . . . . . . . . . . 15
6353, 56, 59, 61, 62syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
6449, 63eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . 13
6564sumeq2dv 12223 . . . . . . . . . . . 12
6643, 65syl5eq 2360 . . . . . . . . . . 11
67 fveq1 5562 . . . . . . . . . . . 12
6836adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
6968, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12
704dchrabl 20546 . . . . . . . . . . . . . 14
71 ablgrp 15143 . . . . . . . . . . . . . 14
7268, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
73 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . 14
7473, 6, 44grplactf1o 14614 . . . . . . . . . . . . 13
7572, 45, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
7673, 6grplactval 14612 . . . . . . . . . . . . 13
7745, 76sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
78 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . 13
7954, 61, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
8067, 69, 75, 77, 79fsumf1o 12243 . . . . . . . . . . 11
81 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . . 13
8250, 60, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
8369, 82, 79fsummulc2 12293 . . . . . . . . . . 11
8466, 80, 833eqtr4rd 2359 . . . . . . . . . 10
8569, 79fsumcl 12253 . . . . . . . . . . 11
8685mulid2d 8898 . . . . . . . . . 10
8784, 86oveq12d 5918 . . . . . . . . 9
8885subidd 9190 . . . . . . . . 9
8987, 88eqtrd 2348 . . . . . . . 8
9024a1i 10 . . . . . . . . 9
9182, 90, 85subdird 9281 . . . . . . . 8
92 subcl 9096 . . . . . . . . . 10
9382, 24, 92sylancl 643 . . . . . . . . 9
9493mul01d 9056 . . . . . . . 8
9589, 91, 943eqtr4d 2358 . . . . . . 7
96 0cn 8876 . . . . . . . . 9
9796a1i 10 . . . . . . . 8
98 simprr 733 . . . . . . . . 9
99 subeq0 9118 . . . . . . . . . . 11
10082, 24, 99sylancl 643 . . . . . . . . . 10
101100necon3bid 2514 . . . . . . . . 9
10298, 101mpbird 223 . . . . . . . 8
10385, 97, 93, 102mulcand 9446 . . . . . . 7
10495, 103mpbid 201 . . . . . 6
105104expr 598 . . . . 5
106105rexlimdva 2701 . . . 4
10740, 106mpd 14 . . 3
10834, 107sylan2br 462 . 2
1091, 2, 33, 108ifbothda 3629 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  wrex 2578  cvv 2822  cif 3599   cmpt 4114   wfn 5287  wf 5288  wf1o 5291  cfv 5292  (class class class)co 5900   cof 6118  cfn 6906  cc 8780  cc0 8782  c1 8783   cmul 8787   cmin 9082  cn 9791  cn0 10012  chash 11384  csu 12205  cbs 13195   cplusg 13255  cgrp 14411   MndHom cmhm 14462  cabel 15139  mulGrpcmgp 15374  cur 15388  ℂfldccnfld 16432  ℤ/nℤczn 16510  DChrcdchr 20524 This theorem is referenced by:  dchrhash  20563  sumdchr  20564 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-rpss 6319  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-word 11456  df-concat 11457  df-s1 11458  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-phi 12881  df-pc 12937  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-divs 13461  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-ghm 14730  df-gim 14772  df-ga 14793  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-od 14893  df-gex 14894  df-pgp 14895  df-lsm 14996  df-pj1 14997  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-cyg 15214  df-dprd 15282  df-dpj 15283  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-rnghom 15545  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-2idl 16033  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-zrh 16511  df-zn 16514  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-0p 19078  df-limc 19269  df-dv 19270  df-ply 19623  df-idp 19624  df-coe 19625  df-dgr 19626  df-quot 19724  df-log 19967  df-cxp 19968  df-dchr 20525
 Copyright terms: Public domain W3C validator