Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr2 Structured version   Unicode version

Theorem sumdchr2 21056
 Description: Lemma for sumdchr 21058. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g DChr
sumdchr.d
sumdchr2.z ℤ/n
sumdchr2.1
sumdchr2.b
sumdchr2.n
sumdchr2.x
Assertion
Ref Expression
sumdchr2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem sumdchr2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2447 . 2
2 eqeq2 2447 . 2
3 fveq2 5730 . . . . . 6
4 sumdchr.g . . . . . . . . 9 DChr
5 sumdchr2.z . . . . . . . . 9 ℤ/n
6 sumdchr.d . . . . . . . . 9
74, 5, 6dchrmhm 21027 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 simpr 449 . . . . . . . 8
97, 8sseldi 3348 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
10 eqid 2438 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
11 sumdchr2.1 . . . . . . . . 9
1210, 11rngidval 15668 . . . . . . . 8 mulGrp
13 eqid 2438 . . . . . . . . 9 mulGrpfld mulGrpfld
14 cnfld1 16728 . . . . . . . . 9 fld
1513, 14rngidval 15668 . . . . . . . 8 mulGrpfld
1612, 15mhm0 14748 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
179, 16syl 16 . . . . . 6
183, 17sylan9eqr 2492 . . . . 5
1918an32s 781 . . . 4
2019sumeq2dv 12499 . . 3
21 sumdchr2.n . . . . . . 7
224, 6dchrfi 21041 . . . . . . 7
2321, 22syl 16 . . . . . 6
24 ax-1cn 9050 . . . . . 6
25 fsumconst 12575 . . . . . 6
2623, 24, 25sylancl 645 . . . . 5
27 hashcl 11641 . . . . . . . 8
2821, 22, 273syl 19 . . . . . . 7
2928nn0cnd 10278 . . . . . 6
3029mulid1d 9107 . . . . 5
3126, 30eqtrd 2470 . . . 4
3320, 32eqtrd 2470 . 2
34 df-ne 2603 . . 3
35 sumdchr2.b . . . . 5
3621adantr 453 . . . . 5
37 simpr 449 . . . . 5
38 sumdchr2.x . . . . . 6
3938adantr 453 . . . . 5
404, 5, 6, 35, 11, 36, 37, 39dchrpt 21053 . . . 4
4136adantr 453 . . . . . . 7
4241, 22syl 16 . . . . . 6
43 simpr 449 . . . . . . . 8
444, 5, 6, 35, 43dchrf 21028 . . . . . . 7
4539adantr 453 . . . . . . . 8
4645adantr 453 . . . . . . 7
4744, 46ffvelrnd 5873 . . . . . 6
4842, 47fsumcl 12529 . . . . 5
49 0cn 9086 . . . . . 6
5049a1i 11 . . . . 5
51 simprl 734 . . . . . . . 8
524, 5, 6, 35, 51dchrf 21028 . . . . . . 7
5352, 45ffvelrnd 5873 . . . . . 6
54 subcl 9307 . . . . . 6
5553, 24, 54sylancl 645 . . . . 5
56 simprr 735 . . . . . 6
57 subeq0 9329 . . . . . . . 8
5853, 24, 57sylancl 645 . . . . . . 7
5958necon3bid 2638 . . . . . 6
6056, 59mpbird 225 . . . . 5
61 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
6261fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11
6362cbvsumv 12492 . . . . . . . . . 10
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
6551adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
664, 5, 6, 64, 65, 43dchrmul 21034 . . . . . . . . . . . . 13
6766fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . 12
6852adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
69 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
71 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14
7244, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
73 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15
7435, 73eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . 14
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
76 fnfvof 6319 . . . . . . . . . . . . 13
7770, 72, 75, 46, 76syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . 12
7867, 77eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11
7978sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . 10
8063, 79syl5eq 2482 . . . . . . . . 9
81 fveq1 5729 . . . . . . . . . 10
824dchrabl 21040 . . . . . . . . . . . 12
83 ablgrp 15419 . . . . . . . . . . . 12
8441, 82, 833syl 19 . . . . . . . . . . 11
85 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
8685, 6, 64grplactf1o 14890 . . . . . . . . . . 11
8784, 51, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
8885, 6grplactval 14888 . . . . . . . . . . 11
8951, 88sylan 459 . . . . . . . . . 10
9081, 42, 87, 89, 47fsumf1o 12519 . . . . . . . . 9
9142, 53, 47fsummulc2 12569 . . . . . . . . 9
9280, 90, 913eqtr4rd 2481 . . . . . . . 8
9348mulid2d 9108 . . . . . . . 8
9492, 93oveq12d 6101 . . . . . . 7
9548subidd 9401 . . . . . . 7
9694, 95eqtrd 2470 . . . . . 6
9724a1i 11 . . . . . . 7
9853, 97, 48subdird 9492 . . . . . 6
9955mul01d 9267 . . . . . 6
10096, 98, 993eqtr4d 2480 . . . . 5
10148, 50, 55, 60, 100mulcanad 9659 . . . 4
10240, 101rexlimddv 2836 . . 3
10334, 102sylan2br 464 . 2
1041, 2, 33, 103ifbothda 3771 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958  cif 3741   cmpt 4268   wfn 5451  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cfn 7111  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997   cmin 9293  cn 10002  cn0 10223  chash 11620  csu 12481  cbs 13471   cplusg 13531  cgrp 14687   MndHom cmhm 14738  cabel 15415  mulGrpcmgp 15650  cur 15664  ℂfldccnfld 16705  ℤ/nℤczn 16783  DChrcdchr 21018 This theorem is referenced by:  dchrhash  21057  sumdchr  21058 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-phi 13157  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-divs 13737  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-cyg 15490  df-dprd 15558  df-dpj 15559  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-0p 19564  df-limc 19755  df-dv 19756  df-ply 20109  df-idp 20110  df-coe 20111  df-dgr 20112  df-quot 20210  df-log 20456  df-cxp 20457  df-dchr 21019
 Copyright terms: Public domain W3C validator