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Theorem sumdmdlem 23911
Description: Lemma for sumdmdi 23913. The span of vector  C not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )

Proof of Theorem sumdmdlem
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3522 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  /\  y  e.  A ) )
2 sumdmdi.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
CH
32chshii 22720 . . . . . . . 8  |-  B  e.  SH
4 spansnsh 23053 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( span `  { C }
)  e.  SH )
5 shsel 22806 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C }
) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C } ) y  =  ( z  +h  w
) ) )
7 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e. 
CH
87cheli 22725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
92cheli 22725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  B  ->  z  e.  ~H )
10 elspansncl 23057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  ->  w  e.  ~H )
11 hvsubadd 22569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  ( z  +h  w )  =  y ) )
12 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  +h  w )  =  y  <->  y  =  ( z  +h  w
) )
1311, 12syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
148, 9, 10, 13syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  (
( y  -h  z
)  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w
) ) )
15143expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  <->  y  =  ( z  +h  w ) ) )
167chshii 22720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  A  e.  SH
1716, 3shsvsi 22859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B ) )
18 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  (
( y  -h  z
)  e.  ( A  +H  B )  <->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
1917, 18syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( ( y  -h  z )  =  w  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2115, 20sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  ( C  e.  ~H  /\  w  e.  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( y  =  ( z  +h  w
)  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2221exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) ) ) )
2322com4r 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
2423imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B
) ) )
2524adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  e.  ( A  +H  B ) ) )
2616, 3shscli 22809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
27 elspansn5 23066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  ->  (
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  /\  (
w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  w  =  0h ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  /\  ( w  e.  ( span `  { C } )  /\  w  e.  ( A  +H  B
) ) )  ->  w  =  0h )
2928exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  (
w  e.  ( A  +H  B )  ->  w  =  0h )
) )
3029adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  e.  ( A  +H  B
)  ->  w  =  0h ) ) )
3125, 30mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  w  =  0h ) )
32 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  0h  ->  (
z  +h  w )  =  ( z  +h 
0h ) )
33 ax-hvaddid 22497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
z  +h  0h )  =  z )
3432, 33sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
359, 34sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( z  +h  w
)  =  z )
3635eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <-> 
y  =  z ) )
3736adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  /\  w  =  0h )  ->  ( y  =  ( z  +h  w )  <->  y  =  z ) )
3837biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  =  z )
39 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
4039biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  =  z )  ->  y  e.  B )
41 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  i^i  A )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  A ) )
4241biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4342ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) )
4440, 43sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  B  /\  y  =  z
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) )
4544expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4645ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
( y  =  z  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4738, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  /\  w  =  0h ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) )
4847expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
4948a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( w  =  0h  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5131, 50mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  /\  ( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) ) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( w  e.  ( span `  { C } )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5352com23 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  ( z  +h  w )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  (
w  e.  ( span `  { C } )  ->  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) )
5453exp32 589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( z  +h  w )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
( C  e.  ~H  /\ 
-.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) ) )
5554com4l 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  B  -> 
( w  e.  (
span `  { C } )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
5655imp4c 575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( C  e. 
~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B
) )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) )
5756exp4a 590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5857com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( C  e.  ~H  ->  ( ( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) ) ) )
5958com4l 80 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( ( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C } ) )  /\  y  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6059exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
( z  e.  B  /\  w  e.  ( span `  { C }
) )  ->  (
y  =  ( z  +h  w )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2828 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  ( span `  { C }
) y  =  ( z  +h  w )  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
626, 61sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( -.  C  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6362com23 74 . . . . 5  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( -.  C  e.  ( A  +H  B )  -> 
( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) ) ) )
6463imp4b 574 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A ) ) )
651, 64syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  ->  y  e.  ( B  i^i  A
) ) )
6665ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  C_  ( B  i^i  A ) )
67 shsub1 22816 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( span `  { C } )  e.  SH )  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) ) )
683, 4, 67sylancr 645 . . . 4  |-  ( C  e.  ~H  ->  B  C_  ( B  +H  ( span `  { C }
) ) )
69 ssrin 3558 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( B  +H  ( span `  { C } ) )  -> 
( B  i^i  A
)  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7068, 69syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ~H  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7170adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( B  i^i  A )  C_  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A ) )
7266, 71eqssd 3357 1  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  -.  C  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { C } ) )  i^i 
A )  =  ( B  i^i  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22412    +h cva 22413   0hc0v 22417    -h cmv 22418   SHcsh 22421   CHcch 22422    +H cph 22424   spancspn 22425
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  23912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cc 8305  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060  ax-hilex 22492  ax-hfvadd 22493  ax-hvcom 22494  ax-hvass 22495  ax-hv0cl 22496  ax-hvaddid 22497  ax-hfvmul 22498  ax-hvmulid 22499  ax-hvmulass 22500  ax-hvdistr1 22501  ax-hvdistr2 22502  ax-hvmul0 22503  ax-hfi 22571  ax-his1 22574  ax-his2 22575  ax-his3 22576  ax-his4 22577  ax-hcompl 22694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-lm 17283  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cfil 19198  df-cau 19199  df-cmet 19200  df-grpo 21769  df-gid 21770  df-ginv 21771  df-gdiv 21772  df-ablo 21860  df-subgo 21880  df-vc 22015  df-nv 22061  df-va 22064  df-ba 22065  df-sm 22066  df-0v 22067  df-vs 22068  df-nmcv 22069  df-ims 22070  df-dip 22187  df-ssp 22211  df-ph 22304  df-cbn 22355  df-hnorm 22461  df-hba 22462  df-hvsub 22464  df-hlim 22465  df-hcau 22466  df-sh 22699  df-ch 22714  df-oc 22744  df-ch0 22745  df-shs 22800  df-span 22801
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