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Theorem sumdmdlem2 23113
Description: Lemma for sumdmdi 23114. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
31, 2chjcli 22150 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
43cheli 21926 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ~H )
5 spansnsh 22254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
62chshii 21921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
7 shsub2 22018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
9 spansnid 22256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
108, 9sseldd 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) ) )
1110ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
y  e.  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
12 elin 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) ) )
13 df-ne 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =/=  0h  <->  -.  y  =  0h )
14 spansna 23044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
1513, 14sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( span `  {
y } )  e. HAtoms
)
16 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  B
) )
1716ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
1816ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
1918oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
2017, 19sseq12d 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  <->  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
2120rspcv 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
span `  { y } )  e. HAtoms  ->  ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
2215, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
23 spansnj 22340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( B  vH  ( span `  { y } ) ) )
24 spansnch 22253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
25 chjcom 22199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( span `  { y } )  e.  CH )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2624, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2723, 26eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
282, 27mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  B ) )
2928ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3028ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
3130oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
3229, 31sseq12d 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3422, 33sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3534com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( y  e. 
~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3635expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( -.  y  =  0h  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
37 ssid 3273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  B
38 sneq 3727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  0h  ->  { y }  =  { 0h } )
3938fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { 0h } ) )
40 spansn0 22234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H
4139, 40syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  0H )
4241oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( B  +H  0H ) )
436shs0i 22142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  +H  0H )  =  B
4442, 43syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  B )
4544ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( B  i^i  ( A  vH  B ) ) )
46 inss1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  B
472, 1chub2i 22163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  C_  ( A  vH  B )
4837, 47ssini 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )
4946, 48eqssi 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B
5045, 49syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B )
5144ineq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5251oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
532, 1chincli 22153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  A )  e. 
CH
5453, 2chjcomi 22161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )
552, 1chabs1i 22211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  B
5654, 55eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  B
5752, 56syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  B )
5850, 57sseq12d 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  B  C_  B ) )
5937, 58mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6036, 59pm2.61d2 152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6160adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
) )
621chshii 21921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e.  SH
636, 62shsub2i 22066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
641, 2sumdmdlem 23112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  =  ( B  i^i  A
) )
6564oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
6665, 56syl6eq 2406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  B )
6766sseq1d 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  vH  B )  C_  ( A  +H  B
)  <->  B  C_  ( A  +H  B ) ) )
6863, 67mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
7061, 69sstrd 3265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  ( A  +H  B ) )
7170sseld 3255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7212, 71syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
7311, 72mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7473exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
7574com34 77 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
76 pm2.18 102 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  ( A  +H  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) )
7775, 76syl8 65 . . . . . 6  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
784, 77syl5 28 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) )
7978pm2.43d 44 . . . 4  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
8079ssrdv 3261 . . 3  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  vH  B
)  C_  ( A  +H  B ) )
811, 2chsleji 22151 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )
8280, 81jctil 523 . 2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  +H  B ) ) )
83 eqss 3270 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
8482, 83sylibr 203 1  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ~Hchil 21613   0hc0v 21618   SHcsh 21622   CHcch 21623    +H cph 21625   spancspn 21626    vH chj 21627   0Hc0h 21629  HAtomscat 21659
This theorem is referenced by:  sumdmdi  23114  dmdbr4ati  23115  dmdbr5ati  23116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778  ax-hcompl 21895
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-lm 17065  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cfil 18785  df-cau 18786  df-cmet 18787  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-subgo 21081  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271  df-dip 21388  df-ssp 21412  df-ph 21505  df-cbn 21556  df-hnorm 21662  df-hba 21663  df-hvsub 21665  df-hlim 21666  df-hcau 21667  df-sh 21900  df-ch 21915  df-oc 21945  df-ch0 21946  df-shs 22001  df-span 22002  df-chj 22003  df-pjh 22088  df-cv 22973  df-at 23032
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