Theorem sumdmdlem2 23923

Description: Lemma for sumdmdi 23924. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	|- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 |- B e. CH
3	1, 2	chjcli 22960	. . . . . . 7 |- ( A vH B ) e. CH
4	3	cheli 22736	. . . . . 6 |- ( y e. ( A vH B ) -> y e. ~H )
5		spansnsh 23064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) e. SH )
6	2	chshii 22731	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. SH
7		shsub2 22828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( span ` { y } ) e. SH /\ B e. SH ) -> ( span ` { y } ) C_ ( B +H ( span ` { y } ) ) )
8	5, 6, 7	sylancl 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) C_ ( B +H ( span ` { y } ) ) )
9		spansnid 23066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> y e. ( span ` { y } ) )
10	8, 9	sseldd 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) )
11	10	ad2antrl 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) )
12		elin 3531	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) <-> ( y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) /\ y e. ( A vH B ) ) )
13		df-ne 2602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y =/= 0h <-> -. y = 0h )
14		spansna 23854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ~H /\ y =/= 0h ) -> ( span ` { y } ) e. HAtoms )
15	13, 14	sylan2br 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( span ` { y } ) e. HAtoms )
16		oveq1 6089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( x vH B ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
17	16	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
18	16	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) )
19	18	oveq1d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) = ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) )
20	17, 19	sseq12d 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
21	20	rspcv 3049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( span ` { y } ) e. HAtoms -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
22	15, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
23		spansnj 23150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( B vH ( span ` { y } ) ) )
24		spansnch 23063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) e. CH )
25		chjcom 23009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. CH /\ ( span ` { y } ) e. CH ) -> ( B vH ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
26	24, 25	sylan2 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B vH ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
27	23, 26	eqtrd 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
28	2, 27	mpan 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ~H -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
29	28	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ~H -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
30	28	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ~H -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) )
31	30	oveq1d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ~H -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) )
32	29, 31	sseq12d 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ~H -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
33	32	adantr 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
34	22, 33	sylibrd 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
35	34	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
36	35	expdimp 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ y e. ~H ) -> ( -. y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
37		ssid 3368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B C_ B
38		sneq 3826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = 0h -> { y } = { 0h } )
39	38	fveq2d 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = 0h -> ( span ` { y } ) = ( span ` { 0h } ) )
40		spansn0 23044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( span ` { 0h } ) = 0H
41	39, 40	syl6eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = 0h -> ( span ` { y } ) = 0H )
42	41	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = 0h -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( B +H 0H ) )
43	6	shs0i 22952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B +H 0H ) = B
44	42, 43	syl6eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = 0h -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = B )
45	44	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = ( B i^i ( A vH B ) ) )
46		inss1 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B i^i ( A vH B ) ) C_ B
47	2, 1	chub2i 22973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B C_ ( A vH B )
48	37, 47	ssini 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B C_ ( B i^i ( A vH B ) )
49	46, 48	eqssi 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = B
50	45, 49	syl6eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = B )
51	44	ineq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )
52	51	oveq1d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( B i^i A ) vH B ) )
53	2, 1	chincli 22963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B i^i A ) e. CH
54	53, 2	chjcomi 22971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B i^i A ) vH B ) = ( B vH ( B i^i A ) )
55	2, 1	chabs1i 23021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B vH ( B i^i A ) ) = B
56	54, 55	eqtri 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B i^i A ) vH B ) = B
57	52, 56	syl6eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = B )
58	50, 57	sseq12d 3378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> B C_ B ) )
59	37, 58	mpbiri 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
60	36, 59	pm2.61d2 155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ y e. ~H ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
61	60	adantrr 699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
62	1, 2	sumdmdlem 23922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )
63	62	oveq1d 6097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( B i^i A ) vH B ) )
64	63, 56	syl6eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = B )
65	1	chshii 22731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. SH
66	6, 65	shsub2i 22876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B C_ ( A +H B )
67	64, 66	syl6eqss 3399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) C_ ( A +H B ) )
68	67	adantl 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) C_ ( A +H B ) )
69	61, 68	sstrd 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( A +H B ) )
70	69	sseld 3348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( y e. ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) -> y e. ( A +H B ) ) )
71	12, 70	syl5bir 211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) /\ y e. ( A vH B ) ) -> y e. ( A +H B ) ) )
72	11, 71	mpand 658	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) )
73	72	exp32 590	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( -. y e. ( A +H B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) ) )
74	73	com34 80	. . . . . . 7 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( y e. ( A vH B ) -> ( -. y e. ( A +H B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) ) )
75		pm2.18 105	. . . . . . 7 |- ( ( -. y e. ( A +H B ) -> y e. ( A +H B ) ) -> y e. ( A +H B ) )
76	74, 75	syl8 68	. . . . . 6 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) )
77	4, 76	syl5 31	. . . . 5 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) )
78	77	pm2.43d 47	. . . 4 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) )
79	78	ssrdv 3355	. . 3 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A vH B ) C_ ( A +H B ) )
80	1, 2	chsleji 22961	. . 3 |- ( A +H B ) C_ ( A vH B )
81	79, 80	jctil 525	. 2 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( A +H B ) C_ ( A vH B ) /\ ( A vH B ) C_ ( A +H B ) ) )
82		eqss 3364	. 2 |- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) <-> ( ( A +H B ) C_ ( A vH B ) /\ ( A vH B ) C_ ( A +H B ) ) )
83	81, 82	sylibr 205	1 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2600   A.wral 2706   i^i cin 3320   C_ wss 3321   {csn 3815   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   ~Hchil 22423   0hc0v 22428   SHcsh 22432   CHcch 22433   +H cph 22435   spancspn 22436   vH chj 22437   0Hc0h 22439  HAtomscat 22469

This theorem is referenced by:  sumdmdi  23924  dmdbr4ati  23925  dmdbr5ati  23926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cc 8316  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hvcom 22505  ax-hvass 22506  ax-hv0cl 22507  ax-hvaddid 22508  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulid 22510  ax-hvmulass 22511  ax-hvdistr1 22512  ax-hvdistr2 22513  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587  ax-his4 22588  ax-hcompl 22705

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-lm 17294  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cfil 19209  df-cau 19210  df-cmet 19211  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ginv 21782  df-gdiv 21783  df-ablo 21871  df-subgo 21891  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-vs 22079  df-nmcv 22080  df-ims 22081  df-dip 22198  df-ssp 22222  df-ph 22315  df-cbn 22366  df-hnorm 22472  df-hba 22473  df-hvsub 22475  df-hlim 22476  df-hcau 22477  df-sh 22710  df-ch 22725  df-oc 22755  df-ch0 22756  df-shs 22811  df-span 22812  df-chj 22813  df-pjh 22898  df-cv 23783  df-at 23842