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Theorem sumdmdlem2 23923
Description: Lemma for sumdmdi 23924. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
31, 2chjcli 22960 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
43cheli 22736 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ~H )
5 spansnsh 23064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
62chshii 22731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
7 shsub2 22828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
85, 6, 7sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
9 spansnid 23066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
108, 9sseldd 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) ) )
1110ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
y  e.  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
12 elin 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) ) )
13 df-ne 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =/=  0h  <->  -.  y  =  0h )
14 spansna 23854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
1513, 14sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( span `  {
y } )  e. HAtoms
)
16 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  B
) )
1716ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
1816ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
1918oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
2017, 19sseq12d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  <->  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
2120rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
span `  { y } )  e. HAtoms  ->  ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
2215, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
23 spansnj 23150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( B  vH  ( span `  { y } ) ) )
24 spansnch 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
25 chjcom 23009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( span `  { y } )  e.  CH )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2624, 25sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2723, 26eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
282, 27mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  B ) )
2928ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3028ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
3130oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
3229, 31sseq12d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3332adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3422, 33sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3534com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( y  e. 
~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3635expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( -.  y  =  0h  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
37 ssid 3368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  B
38 sneq 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  0h  ->  { y }  =  { 0h } )
3938fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { 0h } ) )
40 spansn0 23044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H
4139, 40syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  0H )
4241oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( B  +H  0H ) )
436shs0i 22952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  +H  0H )  =  B
4442, 43syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  B )
4544ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( B  i^i  ( A  vH  B ) ) )
46 inss1 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  B
472, 1chub2i 22973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  C_  ( A  vH  B )
4837, 47ssini 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )
4946, 48eqssi 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B
5045, 49syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B )
5144ineq1d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5251oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
532, 1chincli 22963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  A )  e. 
CH
5453, 2chjcomi 22971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )
552, 1chabs1i 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  B
5654, 55eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  B
5752, 56syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  B )
5850, 57sseq12d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  B  C_  B ) )
5937, 58mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6036, 59pm2.61d2 155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6160adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
) )
621, 2sumdmdlem 23922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  =  ( B  i^i  A
) )
6362oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
6463, 56syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  B )
651chshii 22731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e.  SH
666, 65shsub2i 22876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
6764, 66syl6eqss 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) )
6867adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
6961, 68sstrd 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  ( A  +H  B ) )
7069sseld 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7112, 70syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
7211, 71mpand 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7372exp32 590 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
7473com34 80 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
75 pm2.18 105 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  ( A  +H  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) )
7674, 75syl8 68 . . . . . 6  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
774, 76syl5 31 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) )
7877pm2.43d 47 . . . 4  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7978ssrdv 3355 . . 3  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  vH  B
)  C_  ( A  +H  B ) )
801, 2chsleji 22961 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )
8179, 80jctil 525 . 2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  +H  B ) ) )
82 eqss 3364 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
8381, 82sylibr 205 1  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706    i^i cin 3320    C_ wss 3321   {csn 3815   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   ~Hchil 22423   0hc0v 22428   SHcsh 22432   CHcch 22433    +H cph 22435   spancspn 22436    vH chj 22437   0Hc0h 22439  HAtomscat 22469
This theorem is referenced by:  sumdmdi  23924  dmdbr4ati  23925  dmdbr5ati  23926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cc 8316  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hvcom 22505  ax-hvass 22506  ax-hv0cl 22507  ax-hvaddid 22508  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulid 22510  ax-hvmulass 22511  ax-hvdistr1 22512  ax-hvdistr2 22513  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587  ax-his4 22588  ax-hcompl 22705
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-lm 17294  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cfil 19209  df-cau 19210  df-cmet 19211  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ginv 21782  df-gdiv 21783  df-ablo 21871  df-subgo 21891  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-vs 22079  df-nmcv 22080  df-ims 22081  df-dip 22198  df-ssp 22222  df-ph 22315  df-cbn 22366  df-hnorm 22472  df-hba 22473  df-hvsub 22475  df-hlim 22476  df-hcau 22477  df-sh 22710  df-ch 22725  df-oc 22755  df-ch0 22756  df-shs 22811  df-span 22812  df-chj 22813  df-pjh 22898  df-cv 23783  df-at 23842
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