Theorem sumdmdlem2 22999

Description: Lemma for sumdmdi 23000. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	|- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 |- A e. CH
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 |- B e. CH
3	1, 2	chjcli 22036	. . . . . . 7 |- ( A vH B ) e. CH
4	3	cheli 21812	. . . . . 6 |- ( y e. ( A vH B ) -> y e. ~H )
5		spansnsh 22140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) e. SH )
6	2	chshii 21807	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. SH
7		shsub2 21904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( span ` { y } ) e. SH /\ B e. SH ) -> ( span ` { y } ) C_ ( B +H ( span ` { y } ) ) )
8	5, 6, 7	sylancl 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) C_ ( B +H ( span ` { y } ) ) )
9		spansnid 22142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ~H -> y e. ( span ` { y } ) )
10	8, 9	sseldd 3181	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) )
11	10	ad2antrl 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) )
12		elin 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) <-> ( y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) /\ y e. ( A vH B ) ) )
13		df-ne 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y =/= 0h <-> -. y = 0h )
14		spansna 22930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ~H /\ y =/= 0h ) -> ( span ` { y } ) e. HAtoms )
15	13, 14	sylan2br 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( span ` { y } ) e. HAtoms )
16		oveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( x vH B ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
17	16	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
18	16	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( x vH B ) i^i A ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) )
19	18	oveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) = ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) )
20	17, 19	sseq12d 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( span ` { y } ) -> ( ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
21	20	rspcv 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( span ` { y } ) e. HAtoms -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
22	15, 21	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
23		spansnj 22226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( B vH ( span ` { y } ) ) )
24		spansnch 22139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ~H -> ( span ` { y } ) e. CH )
25		chjcom 22085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( B e. CH /\ ( span ` { y } ) e. CH ) -> ( B vH ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
26	24, 25	sylan2 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B vH ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
27	23, 26	eqtrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. CH /\ y e. ~H ) -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
28	2, 27	mpan 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ~H -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( ( span ` { y } ) vH B ) )
29	28	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ~H -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) )
30	28	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ~H -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) )
31	30	oveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ~H -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) )
32	29, 31	sseq12d 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ~H -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
33	32	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( ( span ` { y } ) vH B ) i^i A ) vH B ) ) )
34	22, 33	sylibrd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
35	34	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( y e. ~H /\ -. y = 0h ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
36	35	expdimp 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ y e. ~H ) -> ( -. y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) ) )
37		ssid 3197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B C_ B
38		sneq 3651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = 0h -> { y } = { 0h } )
39	38	fveq2d 5529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = 0h -> ( span ` { y } ) = ( span ` { 0h } ) )
40		spansn0 22120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( span ` { 0h } ) = 0H
41	39, 40	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = 0h -> ( span ` { y } ) = 0H )
42	41	oveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = 0h -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = ( B +H 0H ) )
43	6	shs0i 22028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B +H 0H ) = B
44	42, 43	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = 0h -> ( B +H ( span ` { y } ) ) = B )
45	44	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = ( B i^i ( A vH B ) ) )
46		inss1 3389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B i^i ( A vH B ) ) C_ B
47	2, 1	chub2i 22049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B C_ ( A vH B )
48	37, 47	ssini 3392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B C_ ( B i^i ( A vH B ) )
49	46, 48	eqssi 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B i^i ( A vH B ) ) = B
50	45, 49	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) = B )
51	44	ineq1d 3369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )
52	51	oveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( B i^i A ) vH B ) )
53	2, 1	chincli 22039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B i^i A ) e. CH
54	53, 2	chjcomi 22047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B i^i A ) vH B ) = ( B vH ( B i^i A ) )
55	2, 1	chabs1i 22097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B vH ( B i^i A ) ) = B
56	54, 55	eqtri 2303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B i^i A ) vH B ) = B
57	52, 56	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = B )
58	50, 57	sseq12d 3207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = 0h -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) <-> B C_ B ) )
59	37, 58	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = 0h -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
60	36, 59	pm2.61d2 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ y e. ~H ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
61	60	adantrr 697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) )
62	1	chshii 21807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. SH
63	6, 62	shsub2i 21952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B C_ ( A +H B )
64	1, 2	sumdmdlem 22998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )
65	64	oveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = ( ( B i^i A ) vH B ) )
66	65, 56	syl6eq 2331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) = B )
67	66	sseq1d 3205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) C_ ( A +H B ) <-> B C_ ( A +H B ) ) )
68	63, 67	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) C_ ( A +H B ) )
69	68	adantl 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i A ) vH B ) C_ ( A +H B ) )
70	61, 69	sstrd 3189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( A +H B ) )
71	70	sseld 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( y e. ( ( B +H ( span ` { y } ) ) i^i ( A vH B ) ) -> y e. ( A +H B ) ) )
72	12, 71	syl5bir 209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( ( y e. ( B +H ( span ` { y } ) ) /\ y e. ( A vH B ) ) -> y e. ( A +H B ) ) )
73	11, 72	mpand 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) /\ ( y e. ~H /\ -. y e. ( A +H B ) ) ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) )
74	73	exp32 588	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( -. y e. ( A +H B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) ) )
75	74	com34 77	. . . . . . 7 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( y e. ( A vH B ) -> ( -. y e. ( A +H B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) ) )
76		pm2.18 102	. . . . . . 7 |- ( ( -. y e. ( A +H B ) -> y e. ( A +H B ) ) -> y e. ( A +H B ) )
77	75, 76	syl8 65	. . . . . 6 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ~H -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) )
78	4, 77	syl5 28	. . . . 5 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) ) )
79	78	pm2.43d 44	. . . 4 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( y e. ( A vH B ) -> y e. ( A +H B ) ) )
80	79	ssrdv 3185	. . 3 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A vH B ) C_ ( A +H B ) )
81	1, 2	chsleji 22037	. . 3 |- ( A +H B ) C_ ( A vH B )
82	80, 81	jctil 523	. 2 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( ( A +H B ) C_ ( A vH B ) /\ ( A vH B ) C_ ( A +H B ) ) )
83		eqss 3194	. 2 |- ( ( A +H B ) = ( A vH B ) <-> ( ( A +H B ) C_ ( A vH B ) /\ ( A vH B ) C_ ( A +H B ) ) )
84	82, 83	sylibr 203	1 |- ( A. x e. HAtoms ( ( x vH B ) i^i ( A vH B ) ) C_ ( ( ( x vH B ) i^i A ) vH B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   =/= wne 2446   A.wral 2543   i^i cin 3151   C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499   0hc0v 21504   SHcsh 21508   CHcch 21509   +H cph 21511   spancspn 21512   vH chj 21513   0Hc0h 21515  HAtomscat 21545

This theorem is referenced by:  sumdmdi  23000  dmdbr4ati  23001  dmdbr5ati  23002

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889  df-pjh 21974  df-cv 22859  df-at 22918