MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1 Unicode version

Theorem sumeq1 12162
Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumeq1
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . 2  |-  F/_ k A
2 nfcv 2419 . 2  |-  F/_ k B
31, 2sumeq1f 12161 1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  sumeq1i  12171  sumeq1d  12174  sumz  12195  fsumadd  12211  fsum2d  12234  fsumrev2  12244  fsummulc2  12246  fsumconst  12252  fsumabs  12259  fsumrelem  12265  fsumrlim  12269  fsumo1  12270  fsumiun  12279  bitsinv2  12634  bitsf1ocnv  12635  bitsinv  12639  prmreclem5  12967  gsumfsum  16439  fsumcn  18374  ovolfiniun  18860  volfiniun  18904  itgfsum  19181  dvmptfsum  19322  pntrsumbnd2  20716  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  fsumprd  25329  rrnval  26551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seq 11047  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator