MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1 Structured version   Unicode version

Theorem sumeq1 12483
Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumeq1
StepHypRef Expression
1 nfcv 2572 . 2  |-  F/_ k A
2 nfcv 2572 . 2  |-  F/_ k B
31, 2sumeq1f 12482 1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  sumeq1i  12492  sumeq1d  12495  sumz  12516  fsumadd  12532  fsum2d  12555  fsumrev2  12565  fsummulc2  12567  fsumconst  12573  fsumabs  12580  fsumrelem  12586  fsumrlim  12590  fsumo1  12591  fsumiun  12600  bitsinv2  12955  bitsf1ocnv  12956  bitsinv  12960  prmreclem5  13288  gsumfsum  16766  fsumcn  18900  ovolfiniun  19397  volfiniun  19441  itgfsum  19718  dvmptfsum  19859  pntrsumbnd2  21261  esumpcvgval  24468  esumcvg  24476  rrnval  26536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-seq 11324  df-sum 12480
  Copyright terms: Public domain W3C validator