MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1 Unicode version

Theorem sumeq1 12178
Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumeq1
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . 2  |-  F/_ k A
2 nfcv 2432 . 2  |-  F/_ k B
31, 2sumeq1f 12177 1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  sumeq1i  12187  sumeq1d  12190  sumz  12211  fsumadd  12227  fsum2d  12250  fsumrev2  12260  fsummulc2  12262  fsumconst  12268  fsumabs  12275  fsumrelem  12281  fsumrlim  12285  fsumo1  12286  fsumiun  12295  bitsinv2  12650  bitsf1ocnv  12651  bitsinv  12655  prmreclem5  12983  gsumfsum  16455  fsumcn  18390  ovolfiniun  18876  volfiniun  18920  itgfsum  19197  dvmptfsum  19338  pntrsumbnd2  20732  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  fsumprd  25432  rrnval  26654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seq 11063  df-sum 12175
  Copyright terms: Public domain W3C validator