MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Unicode version

Theorem sumeq2dv 12176
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
32sumeq2d 12175 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12177  2sumeq2dv  12178  sumeq12dv  12179  sumeq12rdv  12180  fsumf1o  12196  fsumss  12198  fsumsplit  12212  isummulc1  12226  isumdivc  12227  isumge0  12229  fsum2dlem  12233  fsumshftm  12243  fsum0diag2  12245  fsummulc1  12247  fsumdivc  12248  fsumneg  12249  fsumsub  12250  fsum2mul  12251  fsumtscopo2  12261  fsumparts  12264  hashiun  12280  ackbijnn  12286  binomlem  12287  binom1p  12289  incexclem  12295  incexc  12296  incexc2  12297  isum1p  12300  arisum  12318  trireciplem  12320  geoserg  12324  geo2sum  12329  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  mertens  12342  efaddlem  12374  rpnnen2lem10  12502  rpnnen2lem11  12503  fsumdvds  12572  pcfac  12947  ramcl  13076  lagsubg2  14678  sylow2a  14930  ovoliunnul  18866  ovolicc2lem4  18879  uniioombllem4  18941  vitalilem5  18967  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  itg1mulc  19059  itg10a  19065  itg1climres  19069  itgss  19166  itgeqa  19168  itgsplit  19190  elply2  19578  elplyd  19584  plyeq0lem  19592  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeeq2  19624  coemullem  19631  coe1termlem  19639  plycjlem  19657  plyrecj  19660  dvply1  19664  elqaalem3  19701  aareccl  19706  aannenlem1  19708  taylpval  19746  dvtaylp  19749  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  abelth  19817  logtayl  20007  leibpi  20238  birthdaylem2  20247  amgmlem  20284  emcllem5  20293  fsumharmonic  20305  ftalem5  20314  basellem3  20320  basellem8  20325  sgmval2  20381  fsumdvdscom  20425  dvdsflsumcom  20428  musum  20431  musumsum  20432  muinv  20433  fsumdvdsmul  20435  sgmppw  20436  1sgmprm  20438  chtlepsi  20445  pclogsum  20454  vmasum  20455  logfac2  20456  chpval2  20457  chpchtsum  20458  logexprlim  20464  logfacrlim2  20465  perfectlem2  20469  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  dchrhash  20510  dchr2sum  20512  sum2dchr  20513  pcbcctr  20515  bposlem2  20524  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem1  20618  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0fno1  20660  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  rplogsum  20676  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  logsqvma  20691  logsqvma2  20692  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberg  20697  selberg2  20700  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntpbnd1  20735  pntlemk  20755  pntlemo  20756  sspival  21314  indsum  23606  subfaclim  23719  axcgrrflx  24542  axcgrid  24544  axsegconlem1  24545  axsegconlem9  24553  ax5seglem1  24556  ax5seglem2  24557  ax5seglem9  24565  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  bpolylem  24783  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  trirn  26463  rrnmet  26553  jm2.22  27088  jm2.23  27089  flcidc  27379  phisum  27518  isumneg  27728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator