MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Structured version   Unicode version

Theorem sumeq2dv 12502
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
32sumeq2d 12501 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   sum_csu 12484
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12503  2sumeq2dv  12504  sumeq12dv  12505  sumeq12rdv  12506  fsumf1o  12522  fsumss  12524  fsumsplit  12538  isummulc1  12552  isumdivc  12553  isumge0  12555  fsum2dlem  12559  fsumshftm  12569  fsum0diag2  12571  fsummulc1  12573  fsumdivc  12574  fsumneg  12575  fsumsub  12576  fsum2mul  12577  fsumtscopo2  12587  fsumparts  12590  hashiun  12606  ackbijnn  12612  binomlem  12613  binom1p  12615  incexclem  12621  incexc  12622  incexc2  12623  isum1p  12626  arisum  12644  trireciplem  12646  geoserg  12650  geo2sum  12655  mertenslem1  12666  mertenslem2  12667  mertens  12668  efaddlem  12700  rpnnen2lem10  12828  rpnnen2lem11  12829  fsumdvds  12898  pcfac  13273  ramcl  13402  lagsubg2  15006  sylow2a  15258  ovoliunnul  19408  ovolicc2lem4  19421  uniioombllem4  19483  vitalilem5  19509  itg1addlem4  19594  itg1addlem5  19595  itg1mulc  19599  itg10a  19605  itg1climres  19609  itgss  19706  itgeqa  19708  itgsplit  19730  elply2  20120  elplyd  20126  plyeq0lem  20134  plyaddlem1  20137  plymullem1  20138  coeeulem  20148  coeeq2  20166  coemullem  20173  coe1termlem  20181  plycjlem  20199  plyrecj  20202  dvply1  20206  elqaalem3  20243  aareccl  20248  aannenlem1  20250  taylpval  20288  dvtaylp  20291  pserdvlem2  20349  pserdv2  20351  abelthlem8  20360  abelthlem9  20361  abelth  20362  logtayl  20556  leibpi  20787  birthdaylem2  20796  amgmlem  20833  emcllem5  20843  fsumharmonic  20855  ftalem5  20864  basellem3  20870  basellem8  20875  sgmval2  20931  fsumdvdscom  20975  dvdsflsumcom  20978  musum  20981  musumsum  20982  muinv  20983  fsumdvdsmul  20985  sgmppw  20986  1sgmprm  20988  chtlepsi  20995  pclogsum  21004  vmasum  21005  logfac2  21006  chpval2  21007  chpchtsum  21008  logexprlim  21014  logfacrlim2  21015  perfectlem2  21019  dchrsum2  21057  sumdchr2  21059  dchrhash  21060  dchr2sum  21062  sum2dchr  21063  pcbcctr  21065  bposlem2  21074  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem2  21144  chebbnd1lem1  21168  rplogsumlem1  21183  rplogsumlem2  21184  rpvmasumlem  21186  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  dchrmusum2  21193  dchrvmasumlem1  21194  dchrvmasum2lem  21195  dchrvmasum2if  21196  dchrvmasumiflem1  21200  dchrvmasumiflem2  21201  dchrisum0flblem1  21207  dchrisum0fno1  21210  rpvmasum2  21211  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  dchrisum0lem3  21218  dchrisum0  21219  rplogsum  21226  mudivsum  21229  mulogsumlem  21230  mulogsum  21231  mulog2sumlem1  21233  mulog2sumlem2  21234  mulog2sumlem3  21235  vmalogdivsum2  21237  vmalogdivsum  21238  2vmadivsumlem  21239  logsqvma  21241  logsqvma2  21242  selberglem1  21244  selberglem2  21245  selberg  21247  selberg2  21250  selberg3lem1  21256  selberg4lem1  21259  selberg4  21260  pntrsumo1  21264  selbergr  21267  selberg3r  21268  selberg4r  21269  selberg34r  21270  pntsval2  21275  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem5  21280  pntpbnd1  21285  pntlemk  21305  pntlemo  21306  sspival  22242  indsum  24425  lgamcvg2  24844  subfaclim  24879  binomfallfaclem2  25361  binomrisefac  25363  axcgrrflx  25858  axcgrid  25860  axsegconlem1  25861  axsegconlem9  25869  ax5seglem1  25872  ax5seglem2  25873  ax5seglem9  25881  axlowdimlem16  25901  axlowdimlem17  25902  bpolylem  26099  bpolydiflem  26105  fsumkthpow  26107  trirn  26471  rrnmet  26552  jm2.22  27080  jm2.23  27081  flcidc  27370  phisum  27509  isumneg  27718  stoweidlem37  27776  frghash2spot  28526  usgreghash2spotv  28529  usgreghash2spot  28532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator