MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Unicode version

Theorem sumeq2dv 12273
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
32sumeq2d 12272 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   sum_csu 12255
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12274  2sumeq2dv  12275  sumeq12dv  12276  sumeq12rdv  12277  fsumf1o  12293  fsumss  12295  fsumsplit  12309  isummulc1  12323  isumdivc  12324  isumge0  12326  fsum2dlem  12330  fsumshftm  12340  fsum0diag2  12342  fsummulc1  12344  fsumdivc  12345  fsumneg  12346  fsumsub  12347  fsum2mul  12348  fsumtscopo2  12358  fsumparts  12361  hashiun  12377  ackbijnn  12383  binomlem  12384  binom1p  12386  incexclem  12392  incexc  12393  incexc2  12394  isum1p  12397  arisum  12415  trireciplem  12417  geoserg  12421  geo2sum  12426  mertenslem1  12437  mertenslem2  12438  mertens  12439  efaddlem  12471  rpnnen2lem10  12599  rpnnen2lem11  12600  fsumdvds  12669  pcfac  13044  ramcl  13173  lagsubg2  14777  sylow2a  15029  ovoliunnul  18970  ovolicc2lem4  18983  uniioombllem4  19045  vitalilem5  19071  itg1addlem4  19158  itg1addlem5  19159  itg1mulc  19163  itg10a  19169  itg1climres  19173  itgss  19270  itgeqa  19272  itgsplit  19294  elply2  19682  elplyd  19688  plyeq0lem  19696  plyaddlem1  19699  plymullem1  19700  coeeulem  19710  coeeq2  19728  coemullem  19735  coe1termlem  19743  plycjlem  19761  plyrecj  19764  dvply1  19768  elqaalem3  19805  aareccl  19810  aannenlem1  19812  taylpval  19850  dvtaylp  19853  pserdvlem2  19911  pserdv2  19913  abelthlem8  19922  abelthlem9  19923  abelth  19924  logtayl  20118  leibpi  20349  birthdaylem2  20358  amgmlem  20395  emcllem5  20405  fsumharmonic  20417  ftalem5  20426  basellem3  20432  basellem8  20437  sgmval2  20493  fsumdvdscom  20537  dvdsflsumcom  20540  musum  20543  musumsum  20544  muinv  20545  fsumdvdsmul  20547  sgmppw  20548  1sgmprm  20550  chtlepsi  20557  pclogsum  20566  vmasum  20567  logfac2  20568  chpval2  20569  chpchtsum  20570  logexprlim  20576  logfacrlim2  20577  perfectlem2  20581  dchrsum2  20619  sumdchr2  20621  dchrhash  20622  dchr2sum  20624  sum2dchr  20625  pcbcctr  20627  bposlem2  20636  lgsquadlem1  20705  lgsquadlem2  20706  chebbnd1lem1  20730  rplogsumlem1  20745  rplogsumlem2  20746  rpvmasumlem  20748  dchrisumlem1  20750  dchrisumlem2  20751  dchrmusum2  20755  dchrvmasumlem1  20756  dchrvmasum2lem  20757  dchrvmasum2if  20758  dchrvmasumiflem1  20762  dchrvmasumiflem2  20763  dchrisum0flblem1  20769  dchrisum0fno1  20772  rpvmasum2  20773  dchrisum0lem2a  20778  dchrisum0lem2  20779  dchrisum0lem3  20780  dchrisum0  20781  rplogsum  20788  mudivsum  20791  mulogsumlem  20792  mulogsum  20793  mulog2sumlem1  20795  mulog2sumlem2  20796  mulog2sumlem3  20797  vmalogdivsum2  20799  vmalogdivsum  20800  2vmadivsumlem  20801  logsqvma  20803  logsqvma2  20804  selberglem1  20806  selberglem2  20807  selberg  20809  selberg2  20812  selberg3lem1  20818  selberg4lem1  20821  selberg4  20822  pntrsumo1  20826  selbergr  20829  selberg3r  20830  selberg4r  20831  selberg34r  20832  pntsval2  20837  pntrlog2bndlem4  20841  pntrlog2bndlem5  20842  pntpbnd1  20847  pntlemk  20867  pntlemo  20868  sspival  21428  indsum  23686  lgamcvg2  24088  subfaclim  24123  axcgrrflx  25101  axcgrid  25103  axsegconlem1  25104  axsegconlem9  25112  ax5seglem1  25115  ax5seglem2  25116  ax5seglem9  25124  axlowdimlem16  25144  axlowdimlem17  25145  bpolylem  25342  bpolydiflem  25348  fsumkthpow  25350  trirn  25787  rrnmet  25876  jm2.22  26411  jm2.23  26412  flcidc  26702  phisum  26841  isumneg  27051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-sum 12256
  Copyright terms: Public domain W3C validator