MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Unicode version

Theorem sumeq2dv 12460
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
32sumeq2d 12459 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   sum_csu 12442
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  12461  2sumeq2dv  12462  sumeq12dv  12463  sumeq12rdv  12464  fsumf1o  12480  fsumss  12482  fsumsplit  12496  isummulc1  12510  isumdivc  12511  isumge0  12513  fsum2dlem  12517  fsumshftm  12527  fsum0diag2  12529  fsummulc1  12531  fsumdivc  12532  fsumneg  12533  fsumsub  12534  fsum2mul  12535  fsumtscopo2  12545  fsumparts  12548  hashiun  12564  ackbijnn  12570  binomlem  12571  binom1p  12573  incexclem  12579  incexc  12580  incexc2  12581  isum1p  12584  arisum  12602  trireciplem  12604  geoserg  12608  geo2sum  12613  mertenslem1  12624  mertenslem2  12625  mertens  12626  efaddlem  12658  rpnnen2lem10  12786  rpnnen2lem11  12787  fsumdvds  12856  pcfac  13231  ramcl  13360  lagsubg2  14964  sylow2a  15216  ovoliunnul  19364  ovolicc2lem4  19377  uniioombllem4  19439  vitalilem5  19465  itg1addlem4  19552  itg1addlem5  19553  itg1mulc  19557  itg10a  19563  itg1climres  19567  itgss  19664  itgeqa  19666  itgsplit  19688  elply2  20076  elplyd  20082  plyeq0lem  20090  plyaddlem1  20093  plymullem1  20094  coeeulem  20104  coeeq2  20122  coemullem  20129  coe1termlem  20137  plycjlem  20155  plyrecj  20158  dvply1  20162  elqaalem3  20199  aareccl  20204  aannenlem1  20206  taylpval  20244  dvtaylp  20247  pserdvlem2  20305  pserdv2  20307  abelthlem8  20316  abelthlem9  20317  abelth  20318  logtayl  20512  leibpi  20743  birthdaylem2  20752  amgmlem  20789  emcllem5  20799  fsumharmonic  20811  ftalem5  20820  basellem3  20826  basellem8  20831  sgmval2  20887  fsumdvdscom  20931  dvdsflsumcom  20934  musum  20937  musumsum  20938  muinv  20939  fsumdvdsmul  20941  sgmppw  20942  1sgmprm  20944  chtlepsi  20951  pclogsum  20960  vmasum  20961  logfac2  20962  chpval2  20963  chpchtsum  20964  logexprlim  20970  logfacrlim2  20971  perfectlem2  20975  dchrsum2  21013  sumdchr2  21015  dchrhash  21016  dchr2sum  21018  sum2dchr  21019  pcbcctr  21021  bposlem2  21030  lgsquadlem1  21099  lgsquadlem2  21100  chebbnd1lem1  21124  rplogsumlem1  21139  rplogsumlem2  21140  rpvmasumlem  21142  dchrisumlem1  21144  dchrisumlem2  21145  dchrmusum2  21149  dchrvmasumlem1  21150  dchrvmasum2lem  21151  dchrvmasum2if  21152  dchrvmasumiflem1  21156  dchrvmasumiflem2  21157  dchrisum0flblem1  21163  dchrisum0fno1  21166  rpvmasum2  21167  dchrisum0lem2a  21172  dchrisum0lem2  21173  dchrisum0lem3  21174  dchrisum0  21175  rplogsum  21182  mudivsum  21185  mulogsumlem  21186  mulogsum  21187  mulog2sumlem1  21189  mulog2sumlem2  21190  mulog2sumlem3  21191  vmalogdivsum2  21193  vmalogdivsum  21194  2vmadivsumlem  21195  logsqvma  21197  logsqvma2  21198  selberglem1  21200  selberglem2  21201  selberg  21203  selberg2  21206  selberg3lem1  21212  selberg4lem1  21215  selberg4  21216  pntrsumo1  21220  selbergr  21223  selberg3r  21224  selberg4r  21225  selberg34r  21226  pntsval2  21231  pntrlog2bndlem4  21235  pntrlog2bndlem5  21236  pntpbnd1  21241  pntlemk  21261  pntlemo  21262  sspival  22198  indsum  24381  lgamcvg2  24800  subfaclim  24835  binomfallfaclem2  25315  binomrisefac  25317  axcgrrflx  25765  axcgrid  25767  axsegconlem1  25768  axsegconlem9  25776  ax5seglem1  25779  ax5seglem2  25780  ax5seglem9  25788  axlowdimlem16  25808  axlowdimlem17  25809  bpolylem  26006  bpolydiflem  26012  fsumkthpow  26014  trirn  26355  rrnmet  26436  jm2.22  26964  jm2.23  26965  flcidc  27255  phisum  27394  isumneg  27603  stoweidlem37  27661  frghash2spot  28174  usgreghash2spotv  28177  usgreghash2spot  28180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-sum 12443
  Copyright terms: Public domain W3C validator