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Theorem sumeq2w 12181
Description: Equality theorem for sum, when the class expressions  B and  C are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2w  |-  ( A. k  B  =  C  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2w
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  =  ZZ
2 ifeq1 3582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  C  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
32alimi 1549 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
4 alral 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
6 mpteq12 4115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ZZ  =  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
71, 5, 6sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
87seqeq3d 11070 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  seq  m
(  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
98breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
109anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1110rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
12 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
13 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( f `  n
)
14 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B
15 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C
1614, 15nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
17 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B )
18 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  C  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
1917, 18eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( B  =  C  <->  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B  =  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
2013, 16, 19spcgf 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  n )  e.  _V  ->  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) )
2112, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
2221mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
2322seqeq3d 11070 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
2423fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
2524eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
2625anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
2726exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2827rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2911, 28orbi12d 690 . . 3  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
3029iotabidv 5256 . 2  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
31 df-sum 12175 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
32 df-sum 12175 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3330, 31, 323eqtr4g 2353 1  |-  ( A. k  B  =  C  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   [_csb 3094    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   iotacio 5233   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seq 11063  df-sum 12175
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