Theorem sumex 6981

Description: A sum is a set.

Assertion

Ref	Expression
sumex	|- sum_k e. A B e. V

Proof of Theorem sumex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 6980	. 2 |- sum_k e. A B = ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)})
2		2rexuz 6447	. . . . 5 |- (E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
3	2	abbii 1578	. . . 4 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} = {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))}
4		zex 6146	. . . . 5 |- ZZ e. V
5		fvex 3738	. . . . . . 7 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) e. V
6		anass 441	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
7		ancom 437	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
8	6, 7	bitr3 175	. . . . . . . . 9 |- ((m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
9	8	abbii 1578	. . . . . . . 8 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} = {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))}
10		ssab2 2133	. . . . . . . 8 |- {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
11	9, 10	eqsstr 2094	. . . . . . 7 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
12	5, 11	ssexi 2725	. . . . . 6 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
13	4, 12	abrexex2 3877	. . . . 5 |- {x | E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
14	4, 13	abrexex2 3877	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
15	3, 14	eqeltr 1547	. . 3 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} e. V
16		abid2 1583	. . . . . . 7 |- {x | x e. CC} = CC
17		axcnex 5279	. . . . . . 7 |- CC e. V
18	16, 17	eqeltr 1547	. . . . . 6 |- {x | x e. CC} e. V
19		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
20		climcl 6978	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
21	19, 20	mpan 697	. . . . . . . 8 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x -> x e. CC)
22	21	adantl 390	. . . . . . 7 |- ((A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
23	22	ss2abi 2123	. . . . . 6 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} (_ {x | x e. CC}
24	18, 23	ssexi 2725	. . . . 5 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
25	4, 24	abrexex2 3877	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
26	25	uniex 2876	. . 3 |- U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
27	15, 26	unex 2878	. 2 |- ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)}) e. V
28	1, 27	eqeltr 1547	1 |- sum_k e. A B e. V

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  E.wrex 1649  Vcvv 1814   u. cun 2048  <.cop 2415  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  {copab 2671   |` cres 3178  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468   seq cseqz 6532   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  isum1p 7206  iserzgt0 7211  isummulc1 7212  isumcmpi 7215  isumsplit 7216  fsum0diaglem2 7257  fsum0diag 7258  efvalt 7308  eff 7313  efaddlem26 7363  efaddlem27 7364  ef1tllem 7381  ef01tllem1 7383  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  absef01tllem 7387  reeff1o 7426  fsumcnlem 7986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-neg 5370  df-z 6138  df-uz 6419  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain