MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumex Unicode version

Theorem sumex 12160
Description: A sum is a set. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumex  |-  sum_ k  e.  A  B  e.  _V

Proof of Theorem sumex
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sum 12159 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
2 iotaex 5236 . 2  |-  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 1  |-  sum_ k  e.  A  B  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   iotacio 5217   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  fsumrlim  12269  fsumo1  12270  efval  12361  efcvgfsum  12367  eftlub  12389  bitsinv2  12634  bitsinv  12639  lebnumlem3  18461  isi1f  19029  itg1val  19038  itg1climres  19069  itgex  19125  itgfsum  19181  dvmptfsum  19322  plyeq0lem  19592  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeid2  19621  plyco  19623  coemullem  19631  coemul  19633  aareccl  19706  aaliou3lem5  19727  aaliou3lem6  19728  aaliou3lem7  19729  taylpval  19746  psercn  19802  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  abelthlem6  19812  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  logtayl  20007  leibpi  20238  basellem3  20320  chtval  20348  chpval  20360  sgmval  20380  muinv  20433  dchrvmasumlem1  20644  dchrisum0fval  20654  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  mulogsum  20681  logsqvma2  20692  selberglem1  20694  pntsval  20721  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  stoweidlem11  27760  stoweidlem26  27775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828  df-iota 5219  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator