MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summo Structured version   Unicode version

Theorem summo 12516
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
Assertion
Ref Expression
summo  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, m, n, x, A    f, F, k, m, n, x   
k, G, m, n, x    ph, k, m, n    B, f, m, n, x    ph, x, f
Allowed substitution hints:    B( k)    G( f)

Proof of Theorem summo
Dummy variables  g 
j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  n )
)
21sseq2d 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  n ) ) )
3 seqeq1 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  seq  m (  +  ,  F )  =  seq  n (  +  ,  F ) )
43breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y  <->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
52, 4anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
65cbvrexv 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
7 reeanv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )
9 summo.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
10 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  ph )
11 summo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1210, 11sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
14 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
15 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
16 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  n ) )
179, 12, 13, 14, 15, 16sumrb 12512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  (  seq  m
(  +  ,  F
)  ~~>  x  <->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
188, 17mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x )
19 simprrr 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )
20 climuni 12351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y )
2118, 19, 20syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  x  =  y )
2221exp31 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2322rexlimdvv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y )
)
247, 23syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
2524expdimp 428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
266, 25syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
27 summo.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
289, 11, 27summolem2 12515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
2926, 28jaod 371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
309, 11, 27summolem2 12515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  -> 
y  =  x ) )
31 equcom 1693 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
3230, 31syl6ib 219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
3332impancom 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
34 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
35 f1oeq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... n )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
37 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
) )
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) ) )
3936, 38anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 n ) ) ) )
4039exbidv 1637 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) ) ) )
41 f1oeq1 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
42 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  n )  =  ( g `  n ) )
4342csbeq1d 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B )
4443mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) )
4527, 44syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) )
4645seqeq3d 11336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  seq  1 (  +  ,  G )  =  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) )
4746fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )
4847eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
4941, 48anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) ) ) )
5049cbvexv 1986 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
5140, 50syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
5251cbvrexv 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
53 reeanv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
54 eeanv 1938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
55 an4 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )  /\  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  m )  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
56 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
5756, 11sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
58 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5958csbeq1d 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
6059cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B
)
6127, 60eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
62 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
6362csbeq1d 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
6463cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
)
65 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )
66 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
67 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
689, 57, 61, 64, 65, 66, 67summolem3 12513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) )
69 eqeq12 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) ) )
7068, 69syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7170expimpd 588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7255, 71syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7372exlimdvv 1648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7454, 73syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7574rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7653, 75syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7776expdimp 428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7852, 77syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
7933, 78jaod 371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8029, 79jaodan 762 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8180expimpd 588 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
8281alrimivv 1643 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
83 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
8483anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8584rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
86 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8786anbi2d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) ) ) )
8887exbidv 1637 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
8988rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
9085, 89orbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) ) )
9190mo4 2316 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. y ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9282, 91sylibr 205 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   E.wrex 2708   [_csb 3253    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   NNcn 10005   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  fsum  12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287
  Copyright terms: Public domain W3C validator