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Theorem summolem2a 12204
Description: Lemma for summo 12206. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
summolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
summolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
summolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
summolem2a  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    f, k, n, A    f, F, k, n    k, G, n   
k, K, n    k, N, n    ph, k, n    B, f, n    k, M, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( k)    G( f)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2 summo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 summolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 summolem2.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 6898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
10 ensym 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... N ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( 1 ... N
) )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
12 enfii 7096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
139, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
14 hashen 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
168, 15mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
17 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
18 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
19 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2116, 20eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2221oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
23 isoeq4 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
254, 24mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
26 isof1o 5838 . . . . . . 7  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
28 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2927, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
30 nnuz 10279 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3117, 30syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
32 eluzfz2 10820 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3331, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
34 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) --> A  /\  N  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( K `  N )  e.  A
)
3529, 33, 34syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
363, 35sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
373sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
38 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n ) )  =  n )
3927, 38sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  =  n )
40 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
41 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4227, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
43 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' K : A --> ( 1 ... N )  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
4442, 43sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
45 elfzle2 10816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4725adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
48 fzssuz 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
49 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
50 zssre 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
5149, 50sstri 3201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
5248, 51sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
53 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5452, 53sstri 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5554a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
563adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
57 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5857, 50sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5956, 58syl6ss 3204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  RR )
6059, 53syl6ss 3204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
6133adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
62 leisorel 11414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6347, 55, 60, 44, 61, 62syl122anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6446, 63mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  <_  ( K `  N ) )
6539, 64eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  <_  ( K `  N
) )
66 eluzelz 10254 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6737, 66syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
68 eluzelz 10254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6936, 68syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
7069adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
71 eluz 10257 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7267, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7365, 72mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
74 elfzuzb 10808 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
7537, 73, 74sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7675ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7776ssrdv 3198 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
781, 2, 36, 77fsumcvg 12201 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
79 addid2 9011 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0  +  m )  =  m )
8079adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 0  +  m )  =  m )
81 addid1 9008 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  +  0 )  =  m )
8281adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  +  0 )  =  m )
83 addcl 8835 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  +  x
)  e.  CC )
8483adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  +  x
)  e.  CC )
85 0cn 8847 . . . . 5  |-  0  e.  CC
8685a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
8733, 22eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
88 iftrue 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8988adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
9089, 2eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9190ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
92 iffalse 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
9392, 85syl6eqel 2384 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9491, 93pm2.61d1 151 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
9594adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9695, 1fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
97 elfzelz 10814 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
98 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9996, 97, 98syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
100 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
101100eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  0  <->  ( F `  m )  =  0 ) )
102 eldifi 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
103 elfzelz 10814 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
104102, 103syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
105 eldifn 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
106105, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
107106, 85syl6eqel 2384 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1081fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
109104, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
110109, 106eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  0 )
111101, 110vtoclga 2862 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  0 )
112111adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  0 )
113 isof1o 5838 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
114 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1154, 113, 1143syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
116 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( K `  x
)  e.  A )
117115, 116sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
118 iftrue 3584 . . . . . 6  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
119117, 118syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
1203adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
121120, 117sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
122 eluzelz 10254 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
123121, 122syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
124 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
125 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
126 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
127 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
128125, 126, 127nfif 3602 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )
129128nfel1 2442 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
130124, 129nfim 1781 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
131 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
132 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
133 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
134 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  0  =  0 )
135132, 133, 134ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
136135eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
137136imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) ) )
138130, 131, 137, 94vtoclf 2850 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
139138adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
140 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
141 csbeq1 3097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
142 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  0  =  0 )
143140, 141, 142ifbieq12d 3600 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
144 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
145 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
146 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
147145, 146, 127nfif 3602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
148 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
149 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
150 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  0  =  0 )
151148, 149, 150ifbieq12d 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
152144, 147, 151cbvmpt 4126 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
1531, 152eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
154143, 153fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
155123, 139, 154syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
156 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
157156adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
158119, 139eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
159 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  ( K `  n )  =  ( K `  x ) )
160159csbeq1d 3100 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
161 summolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
162160, 161fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
163157, 158, 162syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
164119, 155, 1633eqtr4rd 2339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
16580, 82, 84, 86, 4, 87, 3, 99, 112, 164seqcoll 11417 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
166 summo.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
16717, 17jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1681, 2, 166, 161, 167, 5, 27summolem3 12203 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 N )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
169165, 168eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 N ) )
17078, 169breqtrd 4063 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   [_csb 3094    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798    seq cseq 11062   #chash 11353    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  summolem2  12205  zsum  12207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978
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