Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpr Unicode version

Theorem sumpr 23170
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sumpr.2  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
sumpr.3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
sumpr.4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
sumpr.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
sumpr  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E    ph, k    k, V    k, W
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 3696 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3649 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 prfi 7133 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  Fin
76a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
8 sumpr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
9 sumpr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
10 sumpr.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
1110eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( C  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
12 sumpr.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
1312eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( C  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
1411, 13ralprg 3684 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
159, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
168, 15mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B } C  e.  CC )
1716r19.21bi 2643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
183, 5, 7, 17fsumsplit 12214 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
199simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
208simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2110sumsn 12215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
239simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
248simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2512sumsn 12215 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2722, 26oveq12d 5878 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2818, 27eqtrd 2317 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545    u. cun 3152    i^i cin 3153   (/)c0 3457   {csn 3642   {cpr 3643  (class class class)co 5860   Fincfn 6865   CCcc 8737    + caddc 8742   sum_csu 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161
  Copyright terms: Public domain W3C validator