Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpr Structured version   Unicode version

Theorem sumpr 24249
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sumpr.2  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
sumpr.3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
sumpr.4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
sumpr.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
sumpr  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E    ph, k    k, V    k, W
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 3893 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3845 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 prfi 7410 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  Fin
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
8 sumpr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
9 sumpr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
10 sumpr.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
1110eleq1d 2508 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( C  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
12 sumpr.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
1312eleq1d 2508 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( C  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
1411, 13ralprg 3881 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
159, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
168, 15mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B } C  e.  CC )
1716r19.21bi 2810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
183, 5, 7, 17fsumsplit 12564 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
199simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
208simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2110sumsn 12565 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
2219, 20, 21syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
239simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
248simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2512sumsn 12565 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2623, 24, 25syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2722, 26oveq12d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2818, 27eqtrd 2474 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711    u. cun 3304    i^i cin 3305   (/)c0 3613   {csn 3838   {cpr 3839  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   CCcc 9019    + caddc 9024   sum_csu 12510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511
  Copyright terms: Public domain W3C validator